3.3. Итерационные методы

Для применения итерационных методов необходимо предварительно исходную систему уравнений привести к виду:

, , , ,

Этот вид получается, если из первого уравнения выразить x₁, из второго x₂ и т.д.:

Пусть – некий произвольно задаваемый вектор начального приближения к решению системы. Тогда для нахождения последующих приближений , где m – номер итерации, а , можно применить один из следующих известных методов: метод простой итерации, метод Гаусса-Зейделя, метод верхней релаксации.

1. Метод простой итерации

В этом методе коэффициенты вектора рассчитываются по формуле:

2. Метод Гаусса-Зейделя

В этом методе коэффициенты вектора рассчитываются по формуле:

Для сходимости итерационного процесса достаточно, чтобы модули диагональных коэффициентов для каждого уравнения системы были не меньше сумм модулей всех остальных коэффициентов:

При этом хотя бы для одного уравнения неравенство должно выполняться строго.

Эти условия являются достаточными, но не необходимыми, т.е. для некоторых систем итерационный процесс сходится и при нарушении этих условий.

Процесс итерационных вычислений прекращают, когда разница между двумя последовательными приближенными решениями становится достаточно

малой, т.е. где заданная точность, а , либо .

3.4. Пример 1

Найдем решение следующей линейной системы методом Гаусса:

Сначала с помощью первого уравнения исключим x₁ из второго и третьего уравнений. Это можно сделать так, как было описано выше.

Но мы для простоты понимания проделаем это в два этапа. Сначала сделаем коэффициенты перед переменной x₁ во всех уравнениях равными единице, поделив каждое уравнение на коэффициент, стоящий перед этой переменной. Т.е. поделив первое на 2, второе на 2, а третье на 4.

Поместив слева схему производимых действий, запишем полученную систему, эквивалентную исходной:

Теперь избавимся от переменной x₁ во втором и третьем уравнениях, вычтя из них первое:

Теперь нам нужно с помощью второго уравнения избавиться от переменной x₂ в третьем уравнении. Сделаем это тоже в два этапа. Сначала поделим второе уравнение на 0.5, а третье уравнение на -1.75. Получим систему:

Далее преобразуем третье уравнение, вычтя из него второе:

На данном этапе система приведена к треугольному виду. Найдем значения неизвестных, начиная с третьего уравнения.

Сделаем проверку, подставив полученные значения неизвестных в левые части уравнений системы, чтобы убедиться в выполнении условий:

3.5. Пример 2

Найдем решение той же системы методом простой итерации, предварительно преобразовав ее так, чтобы выполнялись достаточные условия сходимости.

Имеем систему:

Поставим в ней третье уравнение на первое место, второе уравнение – на третье место, а на втором месте запишем разность второго уравнения и удвоенного первого:

Для такой системы достаточные условия сходимости уже выполняются.

Выразим неизвестные из уравнений, как это предлагается в методе:

Пусть первым приближением решения будет вектор . Тогда следующее приближение рассчитаем по полученным формулам:

Таким образом, имеем следующее приближение решения:

. Следующее приближение:

Таким образом, . Далее

Таким образом, .

Посчитаем разницу между двумя последними приближенными решениями, взяв в качестве : . Тогда . В этом случае, если точность, например, , то процесс вычислений останавливается. Если же требуется более точное приближение, то вычисления продолжают.