3.3. Метод минимакса
Этот метод предназначен для ситуации, когда отсутствуют предварительные статистические сведения о вероятности диагнозов D1 и D2. Рассматривается «наихудший случай», то есть наименее благоприятные значения P1 и P2, приводящие к наибольшему значению (максимуму) риска.
Величина риска зависит от k0 и P1 (вероятность второго диагноза P2 = 1 - P1), в частности
.
(3.16)
здесь C11 и C22 - стоимости правильных решений.
Для нахождения экстремума уравнение (3.16) преобразуют (приравнивают частные производные по k0 и P1 к нулю). Условие dR/dk0 = 0 дает
.
(3.17)
Условие dR/dP1 = 0 дает
.
(3.18)
Значения k0 и P1, являющиеся корнями уравнений (3.17) и (3.18), определяют экстремальную точку R(k0, P1). Для одномодальных распределений величина риска становится минимальной (то есть минимальной среди максимальных значений, вызванных «неблагоприятной» величиной P1). По методу минимакса выбирают величину k0 таким образом, чтобы при наименее благоприятных значениях P1 потери, связанные с ошибочным решением, были минимальными.
Опуская процедуры
точного решения уравнений (3.17) и (3.18)
(например, с помощью метода Ньютона)
представим приближенные решения. Так,
в первом приближении можно принять, что
.
Тогда из (3.17) находим наименее благоприятное
значение вероятности исправного P*1
и неисправного P*2
состояний:
,
.
Величину риска определяем из равенства (3.16) при значениях k = k*0, P1 = P*1. Вероятность ложной тревоги и пропуска дефекта может быть найдена из соотношения
,
где
- функция распределения D1
(в общем виде);
- функция распределения
D2
(в общем виде).
3.4. Метод Неймана-Пирсона
В случае если неизвестны оценки стоимости ошибок, решается задача минимизации одной ошибки при определенном (допустимом) уровне другой. По методу Неймана-Пирсона минимизируется вероятность пропуска дефекта при заданном допустимом уровне вероятности ложной тревоги.
Вероятность ложной тревоги
,
где A - заданный допустимый уровень ложной тревоги; P1 - вероятность исправного состояния.
На рисунке 8 видно, что увеличение ошибки ложной тревоги (сечение k0 перемешается влево) приводит к уменьшению величины ошибки пропуска дефекта. Ее наименьшее значение достигается при
.
(3.19)
В практических задачах можно принимать A = r∙P2, где r - коэффициент избыточности, зависящий от разрешающей способности диагностических средств, опасности дефекта, экономических затрат и других соображений.
При дефектах с ограниченными последствиями можно принять r = 1…3. При опасных дефектах r = 3…10. Для редко встречающихся (P2 < 0.01), но крайне опасных дефектов, коэффициент избыточности r может достигать и больших значений.
В задачах диагностики можно использовать и другой подход: определить значение k0 исходя из выбранной вероятности пропуска дефекта. В этом случае
.
(3.20)
где B - заданное значение вероятности пропуска дефекта, которое выбирается с учетом указанных соображений.
Если дефект крайне нежелателен даже на единичном объекте, то можно принять
,
где N - общее число объектов, находящихся в эксплуатации; r - коэффициент избыточности (1 ≤ r ≤ 10).
Во всех случаях для реализации принципа невозможности маловероятных событий величина B должна быть малой (B ≤ 0.01). В методе Неймана-Пирсона граничное значение k0 определяется из уравнения (3.19) или (3.20). При практическом решении таких уравнений целесообразно использовать метод Ньютона.