8.2. Оценка точности контролируемых параметров

В ряде задач требуется найти для какого-либо показателя (параметра) m не только его оценку M', но и его точность, то есть, требуется определить, к каким ошибкам может привести замена показателя (параметра) m его точечным (дискретным, оценочным) "средним" значением M'. С этой целью в математической статистике используются доверительные интервалы.

Доверительным интервалом показателя M называется случайный интервал M_н...M_в, который накрывает истинное значение M с задаваемой вероятностью P (обычно P = 0.9...0.95). Показатели M_н и М_в принято называть доверительными границами, а вероятность Р - доверительной вероятностью.

Для большинства законов распределения имеются специальные статистические таблицы (таблицы коэффициентов доверительных границ), позволяющие по заданным доверительной вероятности Р и объему располагаемой информации (число испытаний, событий m) определить нижнюю и верхнюю доверительные границы М_н и М_в.

8.2.1. Доверительные границы при нормальном и логнормальном

распределении

Пусть при n опытах получен ряд значений x₁, x₂,...,x_i,...,x_n, тогда оценка среднего значения показателя Х' может быть определена по формуле

.

Тогда нижняя доверительная граница Х_н определяется по формуле

,

а верхняя доверительная граница Х_в - по формуле

,

где σ - среднеквадратическое отклонение показателя Х', определяемое по формуле

,

где z - коэффициент доверительных границ, определяемый по таблице 8.1 для доверительной вероятности Р. Обычно задаются значением Р = 0.9...0.95.; x_i - значение показателя при i-ом опыте (замере).

Окончательная запись статистического значения оцениваемого показателя Х в общем случае может быть представлена в следующем виде:

.

Доверительные границы при логнормальном распределении определяются аналогично, с той лишь разницей, что исходная выборка должна содержать значения натуральных логарифмов [то есть ln(x_i)], а в данных формулах вместо значений x должны стоять значения ln(x).

Таблица 8.1

Коэффициенты доверительных границ для нормального распределения

P z P z P z P z

0.50 0.674 0.66 0.954 0.820 1.341 0.9700 2.170

0.51 0.690 0.67 0.974 0.830 1.372 0.9750 2.241

0.52 0.706 0.68 0.994 0.840 1.405 0.9800 2.326

0.53 0.722 0.69 1.015 0.850 1.440 0.9900 2.576

0.54 0.739 0.70 1.036 0.860 1.476 0.9910 2.612

0.55 0.755 0.71 1.058 0.870 1.514 0.9920 2.652

0.56 0.772 0.72 1.080 0.880 1.555 0.9930 2.697

0.57 0.789 0.73 1.103 0.890 1.598 0.9940 2.748

0.58 0.806 0.74 1.126 0.900 1.645 0.9950 2.807

0.59 0.824 0.75 1.150 0.910 1.695 0.9960 2.878

0.60 0.842 0.76 1.175 0.920 1.751 0.9970 2.968

0.61 0.860 0.77 1.200 0.925 1.780 0.9975 3.024

0.62 0.878 0.78 1.227 0.930 1.812 0.9980 3.090

0.63 0.896 0.79 1.254 0.940 1.881 0.9990 3.291

0.64 0.915 0.80 1.282 0.950 1.960 0.9995 3.480

0.65 0.935 0.81 1.311 0.960 2.054 0.9999 3.885