27. Методы обнаружения гетероскедастичности

*графический

Прежде всего, проверяется случайный характер остатков еi (1ая предпосылка мнк). С этой целью строится график зависимости остатков еi от теоретических расчетных значений уi. Если на графике нет направленности в расположении точек остатков еi, то остатки представляют собой случайные величины, МНК оправдан, теоретические значения расчетного уi хорошо аппроксимируют значения фактического yi.

Для обеспечения несмещенности оценок коэффициента регрессии, полученного МНК, необходимо выполнение условий независимости случайных остатков еi и переменных хi (2ая предпосылка мнк). С этой целью строится график зависимости случайных остатков ei от факторов хi, включенных в регрессию. На графике поверяется отсутствие направленности в расположении ei.

* Тест ранговой корреляции Спирмена

При использовании данного теста предполагается, что дисперсия отклонения будет либо увеличиваться, либо уменьшаться с увеличением значения X. Поэтому для регрессии построенной по МНК абсолютные величины отклонений   и значения   будут коррелированы. Значения   и   ранжируются (упорядочиваются по величинам). Затем определяется коэффициент ранговой корреляции:

где   — разность между рангами значений   и   (   ).

Далее определяется t-критерий Стьюдента:

Если tрасч> tтабл, гипотеза о равенстве 0 коэф-та корел-ии отклоняется, отсутствие гетероскедастичности. В противном случае нулевая гипотеза принимается.

*Тест Голдфелда–Квандта. Этот тест применяется в том случае, если ошибки регрессии можно считать нормально распределенными случайными величинами.

Предположим, что средние квадратические (стандартные) отклонения возмущений о, пропорциональны значениям объясняющей переменной X (это означает постоянство часто встречающегося на практике относительного (а не абсолютного, как в классической модели) разброса возмущений е, регрессионной модели.

Упорядочим n наблюдений в порядке возрастания значений регрессора X и выберем т первых и т последних наблюдений.

В этом случае гипотеза о гомоскедастичности будет равносильна тому, что значения е₁,..., е_т и е_п-т+1,..., е_n (т.е. остатки е_i регрессии первых и последних тнаблюдений) представляют собой выборочные наблюдения нормально распределенных случайных величин, имеющих одинаковые дисперсии.

Гипотеза о равенстве дисперсий двух нормально распределенных совокупностей, как известно (см., например, [12]), проверяется с помощью критерия Фишера–Снедекора.

Нулевая гипотеза о равенстве дисперсий двух наборов по т наблюдений (т.е. гипотеза об отсутствии гетероскедастичности) отвергается, если

 

 

где р – число регрессоров.

Заметим, что числитель и знаменатель в выражении (7.19) следовало разделить на соответствующее число степеней свободы, но в данном случае эти числа одинаковы и равны (т – р).

Мощность теста, т.е. вероятность отвергнуть гипотезу об отсутствии гетероскедастичности, когда действительно гетероскедастичности нет, оказывается максимальной, если выбирать т порядка n/3.

При применении теста Голдфелда–Квандта на компьютере нет необходимости вычислять значение статистики F вручную, так как величины  представляют собой суммы квадратов остатков регрессии, осуществленных по “урезанным” выборкам.