35. Понятие тренда, его компоненты, анализ.

Тренд или тенденция временного ряда – это несколько условное понятие. Под трендом понимают закономерную, неслучайную составляющую временного ряда (обычно монотонную), которая может быть вычислена по вполне определенному однозначному правилу. Тренд временного ряда часто связан с действием физических законов или каких-либо других объективных закономерностей. Однако, вообще говоря, нельзя однозначно разделить случайный процесс или временной ряд на регулярную часть (тренд) и колебательную часть (остаток). Поэтому обычно предполагают, что тренд - это некоторая функция простого вида (линейная, квадратичная и т.п.), описывающая “поведение в целом” ряда или процесса. Если выделение такого тренда упрощает исследование, то предположение о выбранной форме тренда считается допустимым.

Для временного ряда уравнение линейного тренда имеет вид

При r>0 говорят о положительном тренде (с течением времени значения временного ряда имеет тенденцию возрастать), при r<0 об отрицательном (тенденция убывания). При r, близких к нулю, иногда говорят о боковом тренде. Как было сказано выше, для случая, когда t=1,2,3,...n, имеем:

однако на практике не стоит отдельно вычислять r и уX и только потом подставлять их в уравнение тренда. Лучше прямо в формуле тренда произвести сокращения, после которых она примет вид:

После выделения линейного тренда нужно выяснить, насколько он значим. Это делается с помощью анализа коэффициент корреляции.

Дело в том, что отличие коэффициента корреляции от нуля и тем самым наличие реального тренда (положительного или отрицательного) может оказаться случайным, связанным со спецификой рассматриваемого отрезка временного ряда. Другими словами, при анализе другого набора экспериментальных данных (для того же временного ряда) может оказаться, что полученная при этом оценка намного ближе к нулю, чем исходная (и, возможно, даже имеет другой знак), и говорить о реальном тренде тут уже становится трудно.

36. Моделирование сезонных и циклических колебаний

Существует несколько подходов к анализу структуры временных рядов, содержащих сезонные или циклические колебания.

1 ПОДХОД. Расчет значений сезонной компоненты методом скользящей средней и построение аддитивной или мультипликативной модели временного ряда.

Общий вид аддитивной модели:  (Т - трендовая компонента, S - сезонная, Е - случайная).

Общий вид мультипликативной модели:

Выбор модели на основе анализа структуры сезонных колебаний (если амплитуда колебаний приблизительно постоянна – аддитивная, если возрастает/уменьшается – мультипликативная).

Построение моделей сводится к расчету значений T,S,E для каждого уровня ряда.

Построение модели:

1.выравнивание исходного ряда методом скользящей средней;

2.расчет значений компоненты S;

3.Устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение выровненных данных (T+E) в аддитивной или (T*E) в мультипликативной модели.

4.Аналитическое выравнивание уровней (T+E) или (T*E) и расчет значения Т с использованием  полученного уровня тренда.

5.Расчет полученных по модели значений (T+S) или (T*S).

6.Расчет абсолютных и/или относительных ошибок.

Если полученные значения  ошибок не содержат автокорреляции, ими можно заменить исходные уровни ряда и в дальнейшем использовать временной ряд ошибок Е для анализа взаимосвязи исходного ряда и др. временных рядов.

 2 ПОДХОД. Построение модели регрессии с включением фактора времени и фиктивных переменных. Количество фиктивных переменных в такой модели должно быть на единицу меньше числа моментов (периодов) времени внутри одного цикла колебаний. Например, при моделировании поквартальных данных модель должна включать четыре независимые переменные – фактор времени и три фиктивные переменные.  Каждая фиктивная переменная отражает сезонную (циклическую) компоненту временного ряда для какого-либо одного периода. Она равна единице (1) для данного периода и нулю (0) для всех остальных. Недостаток модели с фиктивными переменными – наличие большого количества переменных.