Левая часть этого уравнения характеризует силы упругого сопротив-ления, а правая – силы инерции, возникающие при колебаниях лопатки,

или

. (2.4)

Такая форма уравнения движения лопатки показывает, что возмуща-ющие силы отсутствуют. Выделим влияние совокупности физических и геометрических параметров лопатки и обозначим их а²: а² = EJ_xx/ ρ_m F,

где EJ_xx – жёсткость лопатки на изгиб.

Тогда

. (2.5)

Это уравнение определяет изменение прогиба упругой линии «у» как во времени, так и по высоте лопатки т.е. определяет форму её колебаний (форму изгиба упругой линии).

Решением данного уравнения являются гармонические функции

у = Х(Acos ωt + Bsin ωt); (2.6)

где Х – величина, определяющая форму колебаний (т.е. форму упругой линии лопатки) и представляющая собой функцию расстояния от корня лопатки до рассматриваемого сечения;

ω – круговая частота колебаний - количество колебаний за период 2π, т.е. ω = 2πf.

f - количество колебаний в единицу времени;

A,B - произвольные постоянные, которые могут быть определены для каждого частного случая.

Обозначив A= D sinα и B = D cosα решение уравнения движения ло-патки можно привести к виду: у = DХ sin (ωt + α), где DХ - амплитуда колебаний профиля в данном сечении от корня лопатки; α – его фаза. Это решение называется главным колебанием, при котором перемещение любой точки лопатки изменяется по гармоническому закону, а функцию Х= Х(х), определяющую форму упругой линии, называют главной формой колебаний, которая проявляется при каждой частоте главных колебаний и однозначно связана с ней.

Представим уравнение движения лопатки в форме, где текущее время t не фигурирует и будет заменено частотой. Дифференцируя выражение (2.6) дважды по «t» и четырежды по «х» получаем выражения

; (2.7)

. (2.8)

Подставив выражения (2.7) и (2.8) в уравнение движения лопатки (2.5) приведём его к виду:

(2.9)

Обозначая: , (2.10)

получаем дифференциальное уравнение свободных колебаний лопатки постоянного сечения:

(2.11)

Частными решениями уравнения (2.11) являются sin kz; cos kz;

sh kz; ch kz, общее решение этого уравнения имеет вид

где постоянные С₁, С₂, С₃, С₄ определяются граничными условиями на кон-цах лопатки (т.е.на закрепленном и свободном концах). Заменяя значение координаты «х» на длину лопатки ℓ_л и избавляясь от неизвестных коэффи-циентов С_i в процессе преобразования уравнений, удовлетворяющих раз-личным граничным условиям, получаем решение уравнения свободных колебаний в виде трансцендендентного уравнения

или .

Это уравнение имеет бесконечное множество корней kℓ_л каждому из которых соответствуют вполне определенное значение частоты ω ( которое называется собственной частотой колебаний) и форма колебаний упругой линии. Корни уравнения вычисляются приближенными методами или

определяются графически. Первые три из них имеют значения k₁ℓ_л=1,875; k₂ℓ_л=4,694; k₃ℓ_л=7,855 и соответствуют 1,2 и 3 тону колебаний незакручен-ной лопатки постоянного профиля со свободной вершиной на невращаю-щемся роторе. Используя уравнение (2.10) нетрудно вывести формулу для вычисления частот собственных колебаний

_. (2.12)

Для первого (основного) тона колебаний k₁ℓ_л = 1,875 статическая частота собственных колебаний составит

.