5 Зонна теорія кристалів твердих тіл

5.1 Електрон в періодичному полі кристала

Атоми (іони) в ідеальному кристалі розташовані таким чином, що утворюють регулярну періодичну структуру. Тому необхідно розглянути завдання про електрон в потенційному полі , яке має періодичність решітки Браве, що лежить в основі такої структури.

Так як повна періодичність – це ідеалізація, то завдання розбивають на дві частини: 1) розгляд гіпотетичного ідеального кристала з абсолютно періодичним потенціалом, 2) вивчення впливу на властивості кристала всіляких відхилень від повної періодичності, які розглядаються як малі обурення.

Завдання про рух електронів в кристалі є багатоелектронне завдання.

Хвильова функція кристала:

, (5.1)

де – радіус-вектор електрона;

– радіус-вектор іонів (атомів або ядер).

Стаціонарне рівняння Шредінгера має вигляд:

(5.2)

де , тобто повний гамільтоніан твердих тіл містить не тільки одноелектронні потенціали, що описують взаємодію електронів з атомними ядрами, а й парні потенціали, що описують взаємодії між електронами, а також між іонами.

Розглянемо складові, що входять в повний гамільтоніан:

, . (5.3)

Всі потенційні енергії є подвійними сумами в силу парних взаємодій. Хвильова функція кристала не може бути представлена у вигляді добутку функцій окремих частинок.

Першим спрощенням є адіабатичне наближення: будемо вважати, що іони нерухомі (так як маса іона багато більше маси електрона). Отже, маємо:

. (5.4)

Хвильова функція лише параметрично залежить від положення іонів, тобто можна записатиПрослушать

:

. (5.5)

У цьому випадку , . Гамільтоніан кристала має вигляд:

. (5.6)

Друге спрощення – одноелектронне наближення, яке виконується за методом Хартрі-Фока. Суть методу Хартрі-Фока: вважається, що кожен з електронів рухається незалежно від інших електронів в усередненому полі всіх іонів і інших електронів.

Позначимо через потенційну енергію k-го електрона в усередненому полі всіх іонів, – потенційну енергію k-го електрона в усередненому полі інших електронів. Тоді , .

У цьому випадку гамільтоніан системи дорівнює:

, (5.7)

отже,

, (5.8)

де .

Таким чином, хвильову функцію кристала можна записати у вигляді:

. (5.9)

Підстановка такої функції призводить до поділу змінних і до запису рівняння Шредінгера для одного електрона:

, (5.10)

де .

Величина носить назву внутрішньокристалічного потенціалу. Потенціал будується для кожного типу кристалічної решітки і його побудова – окреме завдання у фізиці твердого тіла. Вид потенціалу пов'язаний з симетрією кристала і він має періодичність кристалічної решітки.

Нехай маємо лінійний одномірний кристал. Потенціал періодичний (див. рис. 5.1), причому

, (5.11)

де – довільний вектор решітки.

Рисунок 5.1 – Вид всередині кристалічного потенціалу

Імовірність локалізації електрона в точках, віддалених на вектор решітки , однакова, тобто

, (5.12)

тоді функції та можуть відрізнятися тільки фазовими множниками:

, (5.13)

в цій умові вектор визначений з точністю до довільного вектора оберненої решітки. Нехай , тоді .

У фізиці твердого тіла доводиться теорема Блоха, яка стверджує, що хвильові функції електронів в кристалі можуть бути представлені у вигляді плоских хвиль, амплітуда яких є періодичною функцією решітки:

, (5.14)

де .

У загальному випадку хвильові функції електронів уявимі в вигляді пакету функцій Блоха. Покажемо, що функції Блоха задовольняють умові (5.13):

, т.е. .

На хвильові функції електронів в кристалі накладаються граничні умови.         З-за меж кристала реально в кристалі існують не бігучі, а стоячі хвилі, однак у додатках зручно працювати з бігучими хвилями, тому на кристал накладаються граничні умови Борна-Кармана: електрон описується бігучою хвилею в момент часу, коли електрон виходить з-за кордону кристала, на протилежній стороні з'являється такий же електрон, а хвильові функції на кордонах повинні збігатися, тобто для лінійного кристала це означає :

, .

Але , тоді , і приходимо до рівняння

, (5.15)

де - ціле число.

Хвильовий вектор k приймає значення:

, (5.16)

тобто .

Якщо , то значення k не призводять до фізично різних результатів, так як вектор визначається лише з точністю до довільного вектора оберненої решітки. Таким чином, хвильовий вектор приймає дискретних значень. Отже, для електронів в кристалі хвильовий вектор володіє дискретним спектром значень і може розглядатися як квантове число, що визначає стан електрона. Враховуючи, що , в багатьох випадках розподіл k можна вважати практично безперервним.