2.6. Щільно упаковані структури

Для багатьох кристалів характерна щільна упаковка частинок (атомів). Тримірна кристалічна структура добре описується за допомогою моделей щільно упакованих однакових сфер. Модель, складена з куль однакового радіуса, буде найбільш стійкою, тобто буде мати найменшу внутрішню енергію при найбільш компактному укладанні куль.

Існують наступні щільно упаковані структури: об'ємно - центрована кубічна (ОЦК), гранецентрированная кубічна (ГЦК) і гексагональна щільно упакована (ГЩУ). Для характеристики щільності упаковки вводять коефіцієнт компактності, який дорівнює відношенню об'єму всіх елементарних частинок, що припадають на один елементарний осередок, до всього об'єму елементарного осередку. Для ОЦК структури коефіцієнт компактності дорівнює 0,68, для ГЦК і ГЩУ - 0,74. Розглянемо, як формується щільна упаковка (див. рисунок 2.25). Розташуємо стислий шар куль в одній площині.

Рисунок 2.25 – Приклад побудови щільної упаковки

Спроектуємо центри куль на площину, на якій вони лежать. Ці проекції позначимо світлими кружками. Спроектувавши на цю ж площину центри просвітів між кулями, отримаємо дві системи точок, позначених темними точками і хрестиками. Домовимося всякий щільноупакований шар називати шаром А, якщо центри його куль розташовані над світлими кружками, шаром В, якщо вони розташовані над темними, і шаром С, коли вони розташовані над хрестиками. Над першим шаром (А) поміщаємо другий шар куль, щоб його кулі розташувалися в просвітах першого шару. Це можна зробити двома способами - узяти або шар В, або С. Далі над другим шаром поміщаємо третій і т.д.

Важливе значення мають дві схеми:

1. АВСАВС…(ГЦК)

2. АВАВАВ…(ГЩУ)

В ГЦК структурі кожен атом оточений 12 найближчими сусідами, а відстань між ними визначається, як . Найбільш щільно упакованими площинами в ГЦК решітці є площині {111}. Площина (111) є діагональним зрізом решітки. Такі зрізи повторюють самі себе по упаковці атомів у кожній четвертій площині.

В ГЩУ – структурах атоми упаковані в гексагональних шарах (001) таким же чином, як і у площинах {111} в ГЦК решітці. Площина щільної упаковки в ГЩУ решітці називається базисною та має індекси Міллера (0001). ГЩУ решітка (див. рисунок 2.26) формується таким чином, що кожен атом будь-якого шару оточений шістьма розташованими на рівних відстанях сусідами, що належать цьому шару, і, крім того, має по три найближчі сусіда в шарах, розташованих вище і нижче даного шару.

Рисунок 2.26 – Приклад ГЩУ решітки

Відстань між атомами в гексагональних шарах позначається через а, а висота елементарної комірки - через с. В ідеальних щільно упакованих структурах відношення =1,6333. Однак для більшості металів з ГЩУ решіткою відношення осей знаходиться в інтервалі 1,56 - 1,63, що свідчить про те, що іони металів не мають сферичної форми, і є «сплюснутими». Найближче до ідеальної щільно упакованої гексагональної решітки підходить решітка магнію, для якого =1,6235.

2.7 Вектор оберненої решітки

У ряді випадків буває зручно, поряд з просторовою решіткою, вводити допоміжну систему точок, що називається зворотною решіткою. Вектор оберненої решітки визначаємо як:

, (2.6)

де m₁, m₂, m₃ — цілі числа,

, , .

Визначимо скалярний добуток . Для цього скористуємося властивістю дистрибутивності скалярного добутку. Тоді

, (2.7)

аналогічно,

, (2.8)

(2.9)

Отже, маємо

(2.10)

де N — ціле число.

Якщо існує деяка функція , що володіє періодичністю кристалічної решітки, тобто

, (2.11)

то вона може бути розкладена в узагальнений ряд Фурье:

. (2.12)

Очевидно, що

, (2.13)

звідки випливає, що

, (2.14)

, (2.15)

де N — ціле число.

Можна зробити висновок, що .

Функція, що володіє періодичністю кристалічної решітки, може бути розкладена в ряд по плоских хвилях з хвильовими векторами, які є векторами оберненої решітки.

Простір векторів зворотних решіток - простір хвильових векторів, можливих у даній решітці. Простір оберненої решітки є окремим випадком фазового простору (так як ).

Одне з можливих застосувань оберненої решітки - опис розподілу дифракційних максимумів, які утворюються при розсіюванні рентгенівських променів, електронів або нейтронів на кристалі.

У випадку одномірного ланцюжка атомів з періодом а (див. рисунок 2.27), вектор оберненої решітки .

Рисунок 2.27 – Одномірний ланцюжок атомів з періодом а

Тоді комірка Вігнера-Зейтца для таких решіток має межі ; .

Комірка Вігнера-Зейтца для оберненої решітки носить назву першої зони Брілюена. Таким чином, першій зоні Брілюена відповідають . При даному значенні N рівняння (2.10) визначає кристалічну площину, перпендикулярну вектору оберненої решітки і що знаходиться на відстані від початку координат. Дійсно,

, (2.16)

де - кут між векторами ;

- проекція вектора на вектор .

Тоді

(2.17)

При даних значеннях N и G права частина (2.17) постійна, тому умова (2.17) визначає площину, перпендикулярну до і віддалену на відстань 2N/G від початку координат. Якщо на цій площині лежить один вузол прямої решітки, що визначається вектором , то на цій же площині лежить нескінченне число інших вузлів прямої решітки, що представлене на малюнку 2.28

Рисунок 2.28 – Приклад побудови вектора по заданому вектору

Так як N — будь-яке ціле число, то вектор визначає сімейство паралельних площин прямої решітки, перпендикулярних до . Збільшення N на 1 приводить до збільшення на . Тому відстань між сусідніми кристалічними площинами, перпендикулярними до , дорівнює .