5.4 Електрон в кристалі як квазічастинка

5.4.1 Рух електрона в електричному і магнітному полях

Енергія вільного електрона визначається співвідношенням:

, (5.24)

імпульс вільного електрона дорівнює:

. (5.25)

Розглянемо майже вільні електрони в кристалі. В області малих значень k властивості електронів практично не відрізняються від властивостей вільних електронів. Властивості електронів в кристалі можна описувати властивостями вільних електронів. Для електрона в кристалі імпульс називається квазіімпульс. Дія зовнішньої сили призводить до зміни квазіімпульсу:

, (5.26)

або

. (5.27)

Групова швидкість електронів в кристалі визначається формулою:

. (5.28)

Врахування співвідношення невизначеності , дозволяє записати .

Тоді:

, (5.29)

або

. (5.30)

Отримано аналог другого закону Ньютона:

. (5.31)

Величина називається ефективною масою електрона в кристалі. Для вільного електрона . Ефективна маса електрона в кристалі не визначає ні інерційних, ні гравітаційних його властивостей. Введення цієї величини дає можливість з огляду на складний характер взаємодії електрона з кристалічною решіткою при його русі під дією сили зовнішнього електричного поля ( ), користуватися звичними формулами, вважаючи електрон вільним. Ефективна маса електрона в кристалі залежить від напрямку руху електрона і від його стану (положення електрона в енергетичній зоні).

Залежність від напрямку руху електрона пояснюється анізотропією кристала: при русі електрона сили взаємодії його з кристалічною решіткою різні в різних кристалографічних напрямках.

Нехай в початковий момент часу електрон знаходиться в стані з мінімальною енергією. Під дією зовнішньої сили енергія E зростає відповідно до залежності приведеної на малюнку 5.9 а.

На ділянці ОВ (див. рис. 5.9.б) швидкість електрона зростає, тобто . У т. В спостерігається екстремум швидкості, тоді . На ділянці ВА швидкість електрона зменшується, тобто . У точці А швидкість звертається в нуль і змінює свій напрямок, це означає, що електрон виявляється в точці, еквівалентній точці А '. На ділянці А'В 'модуль швидкості зростає, тобто . В точці В' а=0, а на ділянці В'О відбувається зменшення швидкості, тобто . У стелі зони ефективна маса від’ємна, тому що (див. рис. 5.9.в) .

-π/a

Рисунок 5.9 – Вид залежностей, що описують стан електрона в кристалі

У дна будь-якої зони ефективна маса електрона мало відрізняється від маси вільного електрона. Проте електрон в кристалі не є вільною часткою; його властивості принципово відрізняються від властивостей вільного електрона. Однак з введенням понять квазіімпульсу та ефективної маси можна використовувати ті поняття і формули, які застосовуються для вільних частинок.

Квазіімпульс відрізняється від імпульсу вільного електрона наступними особливостями:

1. дискретність;

2. значення квазіімпульсу обмежені розмірами першої зони Брілюена;

3. квазіімпульс є інтегралом руху.

5.4.2 Поняття про дірки

У напівпровідниках і діелектриках при температурі абсолютного нуля валентні зони заповнені, а зона провідності повністю порожня. Зі зростанням температури (див. рис. 5.10) можливі теплові закидання електронів з валентної зони в зону провідності (перехід зона-зона):

Рисунок 5.10 – Заповнення валентної зони і зони провідності напівпровідника при абсолютному нулі

У валентній зоні утворюється вільний стан, який займає електрон з валентної зони. Оскільки ефективна маса електрона у стелі зони негативна, то електрон буде вести себе, як якщо б він мав позитивний заряд. Тому при описі руху електрона у верхній частині енергетичної зони доцільно розглядати в якості вільного носія заряду дірку – частку з позитивною масою і позитивним зарядом, рівним по абсолютній величині заряду електрона. Дірка є квазічастинкою. У результаті переходу зона-зона утворилися дві квазічастинки – електрон і дірка з позитивними ефективними масами, причому m^* ≈ m. У такому кристалі електричний струм створюється завдяки дрейфу електронів в зоні провідності і дірок у валентній зоні в протилежних напрямках.

5.4.3 Визначення ефективної маси електрона

Ефективну масу електрона можна виміряти експериментально. Якщо помістити кристал в однорідне магнітне поле , то всі вільні носії заряду (електрони і дірки) будуть рухатися в загальному випадку по гвинтовій лінії, вісь якої паралельна вектору . Згідно з другим законом Ньютона, можна записати:

, (5.32)

де ;

r – радіус гвинтової лінії;

– складова швидкості електрона, перпендикулярна .

Тоді

, (5.33)

або

. (5.34)

Частота називається циклотронною частотою. Якщо тепер на кристал перпендикулярно постійному магнітному полю направити електромагнітну хвилю, то при частоті хвилі, що дорівнює циклотронній частоті , вільні носії заряду резонансно поглинають енергію електромагнітної хвилі, виникає циклотронний резонанс. При цьому швидкість вільних носіїв заряду збільшується, а частота  не змінюється. Вимірюючи частоту поглинання електромагнітної хвилі і визначаючи циклотронної частоту , можна обчислити ефективну масу носія заряду. При циклотронному резонансі різниця поведінки електронів і дірок полягає в тому, що за одними і тими ж напрямками швидкості і постійного магнітного поля обертатися вони будуть в різні боки. Змінюючи напрям постійного магнітного поля і відповідно напрямок електромагнітної хвилі, можна визначити ефективну масу вільних носіїв у різних кристалографічних напрямках. У таблиці 5.1 наведені деякі значення ефективних мас (тут m – маса електрона).

Таблиця 5.1 – Значення ефективних мас вільних носіїв для різних напівпровідників

Напівпровідник
Антимонід індія	0,18m	0,015m
Германій	0,59m	0,56m
Кремній	0,37m	1,08m