2.4. Просторові групи і кристалічні класи.

Таким чином, просторові групи найбільш повно характеризують симетрію внутрішньої будови кристалів. Як показав в 1890 році на основі геометричних міркувань російський кристалограф і мінералог Є. С. Федоров, може існувати всього 230 різних просторових груп, які розподіляються по кристалічним системам наступним чином: кубічна – 36, тетрагональна – 68, гексагональна – 27, ромбоедрична – 59, моноклінна – 13, триклінна – 2, ромбічна – 25.

Серед 230 просторових груп 11 пар відрізняються тільки напрямком обертання гвинтових осей, це - енантиоморфні групи. Мабуть, не всі просторові групи Федорова реалізуються в природі, так як для 53 груп поки не знайдено жодного кристала.

У ряді випадків кристалічні тіла розглядають як суцільні середовища (континуум), що характеризуються певними макроскопічними параметрами. У вченні про кристали континуум слід розглядати як граничний випадок кристалічної решітки. Однак континуум має властивості однорідності та анізотропії.

Однорідність означає, що всі точки середовища абсолютно ідентичні.

Анізотропія означає, що властивості кристалів в різних напрямках різні. Але в деяких напрямах вони можуть бути однаковими. Тоді говорять про наявність симетрії кристала, що розглядається як континуум. Специфічність континууму полягає в тому, що в ньому зникає різниця між простими і гвинтовими осями симетрії, а також між простими площинами симетрії і площинами дзеркального ковзання.

Для континууму залишаються тільки наступні елементи симетрії: центр, площина, поворотні і дзеркально-поворотні осі симетрії. Сукупність усіх цих елементів симетрії кристалічної решітки, як континууму, називається її класом.

Можуть існувати 32 кристалічних класи: кубічна — 5, тетрагональна — 7, гексагональна — 7, ромбоедрична — 5, ромбічна — 3, моноклінна — 3, триклінна — 2.

2.5 Позначення вузлів, площин і напрямків у кристалі.

Анізотропія кристалів призводить до необхідності введення певної системи в позначенні вузлів, вузлових площин і напрямків в кристалі.

Виберемо систему координат, осі яких збігаються з трьома ребрами елементарної кристалічної решітки, початок координат знаходиться в одному з вузлів решітки, в якому перетинаються ці ребра, а осьові одиниці відповідають довжині ребер кристалічного осередку. Тобто масштаб по осі x буде а, по осі y — b і по z — c.

Рисунок 2.22 – Система координат элементарного кристалічного осередку

Різномасштабність осей координат цілком виправдовує себе, тому що дозволяє ввести найбільш раціональну систему індексів.

Індекси вузлів записуються в подвійних квадратних дужках [[mnp]]. Для від'ємних індексів над буквою ставиться знак мінус, наприклад, .

Вузловою лінією називається пряма, на якій розташовано безліч атомів. Для вказання напряму будь-якої вузлової лінії кристалічної решітки достатньо вказати різниці координат двох сусідніх ідентичних вузлів, що лежать на цій лінії. Перший вузол зазвичай поміщають на початку координат (для чого досить через початок координат провести пряму, паралельну напрямку, що розглядався). Отримані таким шляхом цілі числа називають індексами напрямів і укладають в квадратні дужки [mnp]. Індекси напрямків задають не одну пряму в кристалі, а сімейство паралельних прямих. Зміна всіх індексів на зворотні за знаком означає той же самий напрям в кристалі. Всі напрямки даного типу позначаються .

Кристалічною або вузловою площиною називається всяка площина, в якій знаходиться безліч атомів решітки. Положення будь-якої площини в просторі визначається трьома точками. У вибраній системі координат зручно в якості трьох опорних точок взятии точки перетину заданої площини з осями координат.

Нехай визначаєма вузлова площина перетинає осі координат в точках А, В і С, і відсікає по осях відрізки довжиною m, n, p, виражені в осьових одиницях (m = OA/a; n = OB/b; p = OC/c) . Складемо відношення зворотних величин осьових відрізків 1/m:1/n:1/p і виразимо його через відношення трьох найменших чисел h, k, l, т.е. h:k:l=1/m:1/n:1/p.

Для знаходження індексів h, k, l потрібно відношення 1/m:1/n:1/p привести до найменшого спільного знаменника і відкинути його. Трійку чисел (hkl) називають індексами Міллера.

Якщо площина паралельна одній з осей, то відповідний індекс Міллера дорівнює нулю. Якщо площину перетинає вісь при від’ємному значенні координати, то над відповідним індексом ставлять знак мінус.

Індекси Міллера (hkl) задають не якусь певну площину, а сімейство паралельних площин, тобто вони визначають кристалографічну орієнтацію площини. Цілком очевидно, що площини (hkl) і належать одному сімейству (вони паралельні).

Для кубічної системи (див. рисунок 2.23) грань куба (100), (010), (001) називається площиною куба; площина (110), що проходить через діагоналі граней, називається площиною ромбічного додекаедра; а площина (111) називається площиною октаедра.

Деякі площині, що розрізняються за індексами Міллера, є еквівалентними в кристалографічному і фізичному сенсі. Наприклад, в кубічній системі еквівалентними є грані куба (100), (010), (001), . Кристалографічна еквівалентність їх виявляється в тому, що ці площини поєднуються одна з одною при повороті навколо однієї з осей координат на кут, кратний 90⁰. Фізична еквівалентність полягає в тому, що всі ці площини мають однакову структуру в

Рисунок 2.23 – Приклад площин для кубічної системи

розташуванні вузлів решітки, а, отже, і однакові фізичні властивості. Сімейство еквівалентних площин позначається фігурними дужками. Символом {100} позначається все сімейство граней куба (100), (010) і т.д.

Відзначимо, що в кубічній системі напрям [mnp] перпендикулярний площині (hkl), якщо h = m, k = n, l = p. У кристалах нижчої симетрії ця закономірність не дотримується.

Індекси Міллера застосовуються для всіх кристалічних систем, крім гексагональної. Кристали гексагональної системи описуються за допомогою чотирьох осей координат X, Y, U, Z, представлених на рисунку 2,24.

Осі X, Y, U мають однаковий осьовий масштаб, лежать в одній площині і розходяться з початку координат під кутом 120⁰. В гексагональній системі

Рисунок 2.23 – Оси координат гексагональної системи

застосовуються індекси Міллера - Браве. Принцип їх знаходження аналогічний побудові для знаходження індексів Міллера, а саме, якщо площина відсікає осьові відрізки m, n, q, p, то індекси Міллера - Браве h, k, i, l можуть бути знайдені з рівності: h:k:i:l =1/m:1/n:1/q:1/p.

Внаслідок того, що осі X, Y і U лежать в одній площині, маємо закономірність: і = - (h + k).

Індекси Міллера - Браве застосовують для того, щоб відобразити особливості симетрії гексагональної системи. Позначення напрямків по чотирьохкомпонентній символіці складає значні труднощі і застосовується дуже рідко. Напрямки в гексагональній решітці зазвичай виражаються по трикомпонентній системі індексів.