2.2.6. Суммирование частных погрешностей

Вопрос о суммировании частных погрешностей не может быть решен однозначно независимо от того, идет ли речь об определении погрешности преобразователя или прибора, состоя­щего из ряда преобразователей и независимо от того, являются ли частные погрешности систематическими или случайными, зависимыми или независимыми, коррелированными или некор­релированными, аддитивными или мультипликативными. Есте­ственно, что учесть все названные обстоятельства при опреде­лении суммарной погрешности ИУ очень трудно. Единой теории суммирования частных погрешностей не существует. Исследо­ватели подходят к решению этого вопроса по-разному, единого мнения, несмотря на неоднократные обсуждения, не вырабо­тано.

Преобразователь — это простейшее звено прибора; его задача сводится к преобразованию входной величины X_i в Х_i+1; коэффициент преобразования его k_i. Если внимательно исследо­вать принцип действия прибора, то таких простейших звеньев можно насчитать достаточно много, причем некоторые из них не имеют специального конструктивного оформления. Напри­мер, термометр сопротивления, принципиальная схема которого изображена на рис. 2.39, состоит из четырех преобразователей: первый преобразует измеряемую температуру Т_х в температуру T_R терморезистора, второй — Т_R в изменение сопротивления R, третий — R в напряжение U, четвертый — U в выходной сигнал Y. Первый не имеет формы преобразователя в общепринятом смысле этого слова. Однако это преобразователь, определяющий динамику работы термометра и являющийся источ­ником ошибок.

Рис. 2.39. Структурная схема термометра сопротивления.

Каждый преобразователь осуществляет преобразование вхо­дящей в него величины с некоторой мультипликативной и адди­тивной случайными погрешностями, причем не обязательно с нулевым математическим ожиданием. Эти погрешности опре­деляются частными составляющими. Схему прибора и его част­ные погрешности можно представить так, как это показано на рис. 2.40. При этом любое

Общее число частных погрешностей прибора может достигать больших величин (30-50).

Рис. 2.40. Частные погрешности и установление корреляционных связей.

В практике измерений применяются разные спо­собы суммирования частных погрешностей. Основные из них можно сформулировать следующим образом.

1. Арифметическое суммирование абсолютных максимальных значений всех частных погрешностей. Получаемое значение суммарной погрешности при этом часто называют предельной погрешностью, т. е. максимально возможной. Некоторые авторы вычисляют в дополнение среднее квадратическое значение сум­марной погрешности без учета степени корреляции, характера законов распределения частных погрешностей. Таким образом, в качестве характеристик точности называются

(2.183)

и

(2.184)

Здесь первый индекс — номер преобразователя, второй — номер ее частной погрешности.

Если предельная погрешность ∆ еще о чем-то свидетельству­ет, хотя вероятность ее появления в зависимости от числа погрешностей составляет величину порядка 10^-10-10^-20, то вто­рая практически не несет никакой информации, так как такое геометрическое суммирование без учета названных выше обстоя­тельств является нестрогим, неверным.

2. Геометрическое суммирование в предположении, что все частные погрешности являются условно-случайными и распреде­лены по нормальному закону. Тогда суммарная погрешность также имеет нормальный закон распределения и может быть представлена как

(2.185)

так как по условию z=z_ij и выбирается в зависимости от приня­той доверительной вероятности. Чаще всего принимают z = 3 (Р = 0,997); получаемое при этом значение называют мак­симальной погрешностью

3. Суммирование погрешностей с учетом корреляционных связей и законов распределения. Перед суммированием частных погрешностей прибора производят их анализ с точки зрения выявления законов распределения и жестких корреля­ционных связей, имея в виду обнаружение частных погрешностей одного или нескольких преобразователей, вызванных одним и тем же фактором, например температурой или напря­жением питания. Для группы погрешностей, вызванных одним и тем же фактором и вследствие этого жестко коррелированных, принимаются один и тот же закон распределения и коэффи­циент взаимной корреляции, равный +1 или — 1, так как вычис­ление действительных коэффициентов корреляции является очень трудоемким. Суммарная погрешность этой группы част­ных погрешностей при этом равна алгебраической сумме состав­ляющих, т. е.

(2.186)

где индексом k отмечены частные погрешности, относящиеся к рассматриваемой группе. Таких групп коррелированных меж­ду собой погрешностей несколько: 1, 2, 3 ..., v... (см. рис. 2.40). Суммарные погрешности каждой группы распределены по законам, соответствующим законам опреде­ляющих их частных погрешностей, и являются практически неза­висимыми. Не объединенные корреляционными связями частные погрешности можно также принять статистически независимыми. Тогда среднее киадратическое отклонение суммы всех частных погрешностей прибора

(2.187)

Если среди погрешностей, входящих в последнее выражение, нет доминирующих и законы распределения их симметричны, то для общей погрешности прибора можно принять нормальный закон распределения. Тогда, выбрав z для заданной довери­тельной вероятности и подсчитав σ по (2.187), получим суммар­ную погрешность прибора

∆= zσ. (2.188)

Если среди погрешностей, определяющих σ, есть доминирую­щие, то для определения суммарной погрешности необходимо найти закон ее распределения как композицию законов распре­деления погрешностей По полученному закону можно определить σ и ∆ (как максимальную погрешность). Для раз­ных законов соотношение между σ и ∆, т. е. z, будет разным. Само определение σ и ∆ при большом числе составляющих погрешностей очень трудоемко.

П. В. Новицкий, определяя погрешности измерительных устройств с позиций теории информации, установил, что коэф­фициент связи между суммарной погрешностью ∆ и средним квадратическим отклонением σ, названный им энтропийным коэффициентом k_э, изменяется от 0 до 2,07, причем максимальное значение соответствует нормальному закону распределения (рис. 2.41). Кривая построена для плавных симметричных зако­нов распределения и является предельной, так как энтропийные коэффициенты для несимметричных и неплавных законов лежат ниже кривой, но в области, которую она ограничивает. Энтро­пийные коэффициенты рассчитываются несколько проще. Следует отметить, что теория информации дает однозначное зна­чение z = k_э =2,07 для нормального закона (независимо от доверительной вероятности). Объясняется это тем, что энтро­пийная погрешность и, следовательно, k_э находятся как мера дезинформации, определяемая в теории информации как условная энтропия

где X — измеряемая величина; Х_n — показание прибора в единицах

намеряемой величины. Таким образом, при использовании теории

информации подход к определению z = k_э одинаков для всех законов

распределения.

4. Способ определения суммарной погрешности измерительного устройства по методу С. П. Дмитриева и Л. А. Овчинникова.

После расчета частных составляющих погрешностей пре­образователей и определения их числовых характеристик σ_i и θ_i каждый реальный преобразователь заменяется идеальным с но­минальным (заданным) коэффициентом преобразования k_н и добавлением на выходе ошибки ∆Y этого преобразователя так, как это показано на рис. 2.42. Погрешность ∆Y может содержать аддитивную и мультипликативную составляющие.

Рис. 2.41. Зависимость энтропийного коэффициента для плавных симметричных законов распределения от величины √σ₄∕μ⁴.

Выражается она в виде математического ожидания θ_i и среднего квадратического отклонения σ_i. Для определения суммарной ошибки измерительного устройства ошибки преобразователей (каждая отдельно) трансформируются на выход прибора в соответствии с его структурной схемой, т. е. используется принцип суперпозиции, справедливый для линейных преобразователей (погреш­ность нелинейности учитывается как одна из частных погреш­ностей преобразователя).

Рис. 2.42. Структура реального пре­образователя.

В результате, если число преобразователей п, то погрешность прибора, приведенная к выходу, будет иметь п составляющих типа

где k_i — номинальные коэффи­циенты преобразования (рис. 2.43). Ошибки принимаются независимы­ми, поэтому среднее квадратическое отклонение ошибки на выходе определяется как геометрическая сумма независи­мых величин, а систематическая — как алгебраическая сумма. При необходимости можно отдельно подсчитать σ и θ по аддитивной и мультипликативной составляющим.

Рис. 2.43. Формирование ошибки измерительного устройства.

Очевидно, что наибольший интерес представляют третий и четвертый методы определения суммарной ошибки прибора. При этом последний больше соответствует физической стороне происходящих явлений: ошибка предыдущего преобразователя вместе с выходным сигналом поступает на вход следующего преобразователя, и так далее, вплоть до выхода прибора. Одним из недостатков такой методики является трудность установле­ния закона распределения суммарной погрешности преобразо­вателя, так как обычно число частных погрешностей преобразо­вателя невелико и композиция законов распределения (распре­деления суммарной погрешности преобразователя) отличается от нормального закона; здесь более явно сказываются домини­рующие погрешности. Вторым недостатком является невозмож­ность учета корреляционных связей между отдельными част­ными погрешностями преобразователей, вызванные, например, изменениями температуры, напряжения.

Третий метод суммирования частных погрешностей является наиболее объективным, так как целиком базируется на теории случайных ошибок. Однако использование его при большом числе частных погрешностей без наложения ряда априорных заключений затруднительно.

К сожалению, пока нет сравнительных данных по расчету погрешностей приборов этими методами.