4.5.4.5.Упрощение модели.

Пусть построена модель в виде

Первый вопрос, который возникает после установления адекватности этой модели,— это вопрос о значимости вклада в модель всех членов выражения, стоящих после т. е. следует уточнить, насколько оправдано в статистическом смысле усложнение простейшей модели за счет введения всех последующих членов (проверка значимости регрессии в целом).

Для проверки значимости регрессии общую сумму квад­ратов отклонений откликов от среднего значения раскладывают следующим образом:

(4.102)

Соответствующие этим суммам числа степеней свободы связаны соотношением

(4.103)

Сумма Q_o6щ обусловлена разбросом откликов относительно среднего уровня , ей может быть поставлена в соответствие дисперсия , оценка которой Если для адекватной модели незначимо больше , то добавление в модель составляющих практически не повышает точность описания исследуемого объекта, следовательно, модель может быть выражена в виде .

Проверку значимости регрессии в целом проводят как проверку статистической гипотезы

Практически эту проверку осуществляют с помощью критерия Фишера в следующем порядке:

1) вычисляют отношение

2) по заданному уровню значимости α и числам степе­нней свободы f_о6щ и f_ост в таблице распределения Фишера находят критическое значение

где f₁ = f_общ, f₂ = f_оcт;

3) сравнивают значения F и если то гипотеза Н₀ не противоречит опытным данным, т. е. регрессия является незначимой, если то регрессия является значимой.

После установления значимости регрессии в целом возникает второй вопрос: нельзя ли упростить модель путем исключения из нее некоторых регрессионных переменных?

Вопрос о возможности исключения из модели переменной х_j может быть решен путем анализа значимости соответствующего коэффициента b_j. Так как величина b_j полученная путем обработки результатов эксперимента, является случайной, зависящей от конкретных значений откли­ков у_il, то значимость b_j можно определить путем провер­ки статистической гипотезы Н₀: b_j = 0. Если значение b_j отличается от нуля незначимо (в статистическом смысле), то переменная x_j может быть исключена из модели.

Для проверки гипотезы b_j = 0 необходимо прежде всего оценить меру случайности в определении вектора коэф­фициентов В из эксперимента с ограниченным числом на­блюдений N. Такой мерой является матрица дисперсий — ковариаций коэффициентов. Диагональные элементы этой матрицы есть дисперсии, а внедиагональные члены — ко­вариаций коэффициентов b_о, b₁.....b_n. В РА показано, что матрица дисперсий-ковариаций

(4.104)

При дублировании опытов матрица V (В) может быть вычислена и так:

(4.105)

где Р — матрица дублирования.

Для равномерного дублирования, когда

формула (4.105) упрощается:

(4.106)

Из формул (4.104)—(4.106) следует, что рассеяние оценок истинных коэффициентов модели зависит не только от дис­персии чистой ошибки , но также и от информационной матрицы X^T X (или X^T₀ X₀), т. е. от планирования. В этой связи следует еще раз подчеркнуть достоинства активного эксперимента. Действительно, как уже отмечалось, при АЭ чаще всего используют ортогональные планы, в которых X^T X имеет диагональную форму, а следовательно, и (Х^т X)^-1 также диагональна. Тогда согласно (4.104) в таком эксперименте оценки отдельных коэффициентов модели не зависят друг от друга. Кроме того, при АЭ стремятся к такому выбору матрицы планирования X, при котором дис­персии коэффициентов модели минимальны (D-оптимальные планы). Таким образом, в АЭ имеется возможность целенаправленно влиять на свойства оценок параметров вы­бранной модели.

Отметим также, что если неизвестна, то в формулах (4.104)—(4.106) вместо нее используют , получаемую по (4.101) для адекватной модели.

Проверку значимости каждого коэффициента b_j проводят по критерию Стьюдента в следующем порядке:

1) вычисляют оценку дисперсии коэффициента как соответствующий диагональный элемент матрицы V (В) по одной из формул (4.104)—(4.106):

2) определяют

3) по заданному уровню значимости α и числу степе­ней свободы

f= N — (п + 1) в таблице распределения Стью­дента отыскивают критическое значение

4) если то коэффициент b_j может быть при­знан незначимым и переменную x_j исключают из модели; если то b_j является значимым.

После проверки коэффициентов b_j на значимость и упро­щения исходной модели необходимо, в общем случае вер­нуться к вычислению коэффициентов и проделать все про­цедуры в соответствии со схемой рис. 4.10 для упрощенной модели.

Отметим, однако, что для этого не нужно заново вычис­лять матрицу Х^т X. Достаточно из матрицы X^T X исходной модели вычеркнуть j-ю строку и j-й столбец, соответствую­щие исключенной переменной x_j. Вычеркнув строки и столб­цы, соответствующие исключенным переменным, получим информационную матрицу X^T X для упрощенной модели. Далее необходимо обратить эту матрицу, и так далее до получения новых коэффициентов для упрощенной модели. В том случае, когда матрица X^TX исходной модели диа­гональна (ортогональный план), не нужно пересчитывать коэффициенты упрощенной модели, так как они полностью совпадают с соответствующими коэффициентами исходной модели.