Практическое занятие № 15 приложения неопределённого интеграла к решению задач
Цель:
- сформировать навыки нахождения функции по её дифференциалу;
- развить умение составлять уравнение кривой, проходящей через данную точку с заданным угловым коэффициентом;
- закрепить знания о физических приложениях неопределённого интеграла;
Материально – техническое обеспечение: методические указания по выполнению работы, стенды «Таблица интегралов»;
Время выполнения: 2 академических часа;
Ход занятия:
Изучить краткие теоретические сведения;
Выполнить задания;
Сделать вывод по работе;
Подготовить защиту работы по контрольным вопросам.
Краткие теоретические сведения:
Отыскание
функции по заданной производной или по
дифференциалу - задача неопределённая,
так как
есть множество первообразных функций
вида
Чтобы из множества первообразных
выделить одну определённую функцию,
должны быть заданы начальные условия
- частные значения х и у, по
которым находят единственное значение
С, удовлетворяющее этим начальным
условиям.
Пример 1. Найти
функцию по её дифференциалу
если у = 2 при х = 3.
Решение:
Проинтегрируем
обе части данного равенства:
откуда
Найдём значение постоянной С при
заданных начальных условиях у = 2 при
х = 3:
Итак, функция, удовлетворяющая заданным
начальным условиям, имеет вид:
Пример 2. Составить
уравнение кривой, проходящей через
точку
и
имеющей касательную с угловым коэффициентом
k =
Решение:
Согласно условию:
Проинтегрировав обе части равенства, получим:
Используя начальные
условия
и
,
находим С:
Следовательно,
искомое уравнение кривой имеет вид:
Пример 3. Скорость
прямолинейного движения точки задана
уравнением
Найти закон движения, если за время
точка прошла путь
Решение:
Имеем:
тогда:
Подставив в
найденное уравнение начальные условия:
,
,
получим
,
откуда
Закон движения примет вид:
Задания для самостоятельного выполнения:
I. Найти функцию по её дифференциалу.
II.
Составить уравнение кривой, проходящей
через точку М (х; у) с заданным угловым
коэффициентом
.
Найти закон прямолинейного движения точки.
Вариант 1.
1.
если
у = 2 при х = 2.
2. М ( 1; 2 ) и
3.
,
если t = 3с при S
= 10м.
Вариант 2.
1.
если у = 6 при х = 1.
2. М ( 2; 1 ) и
3.
,
если t = 2с при S
= 20м.
Вариант 3.
1.
если у = 3 при х = 2.
2. М ( 2; 2) и
3.
,
если t = 3с при S
= 30м.
Вариант 4.
1.
если у = 4 при х = 3.
2. М ( 1 ; 3 ) и
3.
,
если t = 2с при S
= 40м.
Вариант 5.
1.
если у = 2 при х = 1.
2. М ( 5 ; -2 ) и
3.
,
если t = 0с при S
= 6м.
Вариант 6.
1.
если у = 5 при х = 1.
2. М ( 4 ; 3 ) и
3.
,
если t = 𝜋
∕6 с при S
= 4м.
Вариант 7.
1.
если у = 3 при х = 2.
2. М ( 3 ; 1 ) и k =2x-1.
3.
,
если t = 3с при S
= 20м.
Вариант 8.
1.
если у = 4 при х = 1.
2. М ( 0 ; 3 ) и
3.
,
если t = 1с при S
= 5м.
Вариант 9.
1.
если у = 2 при х = 1.
2. М ( 2 ; -1 ) и
k =
3.
,
если t = 2с при S
= 8м.
Вариант 10.
1.
если у = 5 при х = 1.
2. М ( 1 ; 3 ) и k = 2x-3.
3.
,
если t = 𝜋
∕3 с при S
= 5м.
Вариант 11.
1.
если у = 6 при х = 4.
2. М ( 1 ; 3 ) и k = -2x.
3.
,
если t = 0с при S
= 10м.
Вариант 12.
1.
если у = 3 при х = 1.
2. М ( 1 ; e
) и
.
3.
,
если t = 2с при S
= 40м.
Вариант 13.
1.
если у = 5 при х = 3.
2. М ( -2 ; -8/3 )
и
.
3.
,
если t = 0с при S
= 8м.
Вариант 14.
1.
если у = 3 при х = 2.
2. М ( 0 ; 4 ) и k = 3x-4.
3.
,
если t = 0с при S
= 0м.
Вариант 15.
1.
если у = 4 при х = 1.
2. М ( 1 ; 3 ) и
k = 3
+2.
3.
,
если t = 𝜋
∕6 с при S
= 8м.
Вопросы для самоконтроля:
Как найти функцию по её дифференциалу?
Опишите алгоритм нахождения уравнения кривой, проходящей через данную точку с заданным угловым коэффициентом.
Сформулируйте физические приложения неопределённого интеграла.