Практическое занятие № 18 приближённые вычисления определённых интегралов

Цель:

- сформировать навыки приближённого вычисления определённых интегралов c заданной точностью;

- развить умение находить значения функций в заданных точках;

- закрепить знания о формулах приближённых вычислений;

Материально – техническое обеспечение: методические указания по выполнению работы, микрокалькуляторы;

Время выполнения: 2 академических часа;

Ход занятия:

1. Изучить краткие теоретические сведения;

2. Выполнить задания;

3. Сделать вывод по работе;

4. Подготовить защиту работы по контрольным вопросам.

Краткие теоретические сведения:

Приближенные методы вычисления определенного интеграла в большинстве случаев основаны на том, что определенный интеграл численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой , сегментом оси ОХ и вертикальными прямыми и , проведенными через эти точки. Благодаря этому задача о приближенном вычислении интеграла равносильна задаче о приближенном вычислении площади криволинейной трапеции.

Идея приближенного вычисления интеграла заключается в том, что кривая заменяется новой, достаточно «близкой» к ней кривой. В зависимости от выбора новой кривой мы получим ту или иную приближенную формулу интегрирования.

1. Формула прямоугольников:

,

где

2. Формула трапеций:

где

3. Формула параболических трапеций (формула Симпсона):

Пример 1. Найти приближенное значение интеграла , вычисленное по формуле прямоугольников при n=10 с точностью до 0,001:

Решение. По условию

Найдём значения аргументов х_i и соответствующие значения функции f(x_i) c шагом 0,1:

	f(xi)= 1 ∕хi
	f(x0)= 1 ∕х0=1 ∕1=1
	f(x1)= 1 ∕х1=1 ∕1.1≈ 0.909
	f(x2)= 1 ∕х2=1 ∕1.2≈ 0.833
	f(x3)= 1 ∕х3=1 ∕1.3≈ 0.769
	f(x4)= 1 ∕х4=1 ∕1.4≈ 0.714
	f(x5)= 1 ∕х5=1 ∕1.5≈ 0.667
	f(x6)= 1 ∕х6=1 ∕1.6≈ 0.625
	f(x7)= 1 ∕х7=1 ∕1.7≈ 0.588
	f(x8)= 1 ∕х8=1 ∕1.8≈ 0.556
	f(x9)= 1 ∕х9=1 ∕1.9≈ 0.526

Подставим найденные значения в формулу прямоугольников и вычислим приближённое значение интеграла с точностью до 0,001:

Пример 2. Найти приближенное значение интеграла , вычисленное по формуле трапеций при n=10 с точностью до 0,0001:

Решение. По условию

Найдём значения аргументов х_i и соответствующие значения функции f(x_i) c шагом 0,1:

	f(xi)= 1 ∕хi
	f(x0)= 1 ∕х0=1 ∕1=1
	f(x1)= 1 ∕х1=1 ∕1.1≈ 0.9091
	f(x2)= 1 ∕х2=1 ∕1.2≈ 0.8333
	f(x3)= 1 ∕х3=1 ∕1.3≈ 0.7692
	f(x4)= 1 ∕х4=1 ∕1.4≈ 0.7142
	f(x5)= 1 ∕х5=1 ∕1.5≈ 0.6667
	f(x6)= 1 ∕х6=1 ∕1.6≈ 0.6250
	f(x7)= 1 ∕х7=1 ∕1.7≈ 0.5882
	f(x8)= 1 ∕х8=1 ∕1.8≈ 0.5556
	f(x9)= 1 ∕х9=1 ∕1.9≈ 0.5263
	f(x10)= 1 ∕х10=1 ∕2= 0.5

Подставим найденные значения в формулу трапеций и вычислим приближённое значение интеграла с точностью до 0,0001:

Пример 3. Найти приближенное значение интеграла вычисленное по формуле Симпсона при n=2 с точностью до 0,0001:

Решение. По условию

Найдём значения аргументов х_i и соответствующие значения функции f(x_i) c шагом 1 ∕12:

	f(xi)= 1 ∕1+х2i
	f(x0)= 1 ∕1+х20=1 ∕1=1
	f(x1)= 1 ∕1+х21=1 ∕145∕144≈ 0.9931
	f(x2)= 1 ∕1+х22=1 ∕37∕36≈ 0.9730
	f(x3)= 1 ∕1+х23=1 ∕17∕16≈ 0.9412
	f(x4)= 1 ∕1+х24=1 ∕10∕9≈ 0.9

Подставим найденные значения в формулу Симпсона и вычислим приближённое значение интеграла с точностью до 0,0001:

Задания для самостоятельного выполнения:

1. Найти приближённые значения интегралов по формуле прямоугольников.

2. Вычислить приближённое значение интеграла по формуле трапеций с точностью до 0,0001.

3. Найти приближённое значение интеграла по формуле Симпсона с точностью до 0,001.

1. а) б) в)

2. 

3. 

Вопросы для самоконтроля:

1. Как найти приближённое значение интеграла по формуле прямоугольников?

2. Запишите формулу трапеций для приближённого вычисления определённого интеграла.

3. Формула Симпсона (формула параболических трапеций)?