Практическое занятие № 8 предел функции на бесконечности

Цель:

- сформировать навыки вычисления пределов на бесконечности;

- развить умение раскрывать неопределённости вида

- закрепить знания о способах деления многочлена на многочлен;

Материально – техническое обеспечение: методические указания по выполнению работы;

Время выполнения: 2 академических часа;

Ход занятия:

Изучить краткие теоретические сведения;
Выполнить задания;
Сделать вывод по работе;
Подготовить защиту работы по контрольным вопросам.

Краткие теоретические сведения:

Предел функции на бесконечности описывает поведение значения данной функции, когда её аргумент становится бесконечно большим.

Определение 1: Число А называется пределом функции f(x) при х → ∞, если для любого положительного ε > 0, можно найти такое М > 0, что при всех х, удовлетворяющих неравенству х > М выполняется неравенство | f(x) -А| < ε. Обозначение:

f(x) = А, если х_n → ∞ при f(x_n) →А.

Справедливы аналогичные теоремы:

Теорема 1. (f(x) ± g(x)) = f(x) ± g(x).

Теорема 2. (f(x) · g(x)) = f(x) · g(x).

Следствие 1. (С∙f(x)) = С ∙ f(x).

Следствие 2. С = С.

Определение 2: Функция называется бесконечно малой, если её предел при х→ а равен нулю и бесконечно большой, если её предел при х→ а равен бесконечности, т.е. если f(x) = 0, то f(x) - бесконечно малая и если f(x) = ∞, то f(x) - бесконечно большая.

Свойства бесконечно малых:

Сумма конечного числа бесконечно малых функций — бесконечно малая функция.
Произведение бесконечно малых функций — бесконечно малая функция.
Произведение бесконечно малой функции на ограниченную — бесконечно малая функция. Как следствие, произведение бесконечно малой функции на константу — бесконечно малая функция.
Если f(x)— бесконечно малая функция, сохраняющая знак, то 1/f(x)— бесконечно большая функция.

Рассмотрим часто встречающиеся методы вычисления пределов функций на бесконечности.

Пример 1. Найти предел функции: ;

Решение:

При данная функция представляет собой частное двух бесконечно больших величин, имеем неопределенность вида [ ]. Чтобы раскрыть эту неопределенность, применим первую предельную теорему и разделим каждое слагаемое числителя на 5х. Тогда получим:

Пример 2. Вычислить предел:

Решение:

При имеем неопределенность вида [ ]. Чтобы раскрыть эту неопределенность, разделим числитель и знаменатель на Тогда получим:

Пример 3. Вычислить предел:

Решение:

При данная функция представляет собой разность двух бесконечно больших величин, имеем неопределённость вида [ ]. Раскроем неопределённость, умножив и разделив функцию на сопряжённое выражение