Практическое занятие № 22 вероятность события
Цель:
- сформировать навыки решения вероятностных задач;
- развить умения вычисления вероятностей совместных и несовместных, независимых событий;
- закрепить знания о теоремах сложения и умножения вероятностей.
Материально – техническое обеспечение: методические указания по выполнению работы;
Время выполнения: 2 академических часа;
Ход занятия:
Изучить краткие теоретические сведения;
Выполнить задания;
Сделать вывод по работе;
Подготовить защиту работы по контрольным вопросам.
Краткие теоретические сведения:
На основе конкретных примеров покажем способы вычисления вероятностей события.
Пример 1.
В лотерее из 1000 билетов имеются 200 выигрышных. Вынимают наугад один билет. Чему равна вероятность того, что этот билет выигрышный?
Решение.
Общее число различных исходов есть n=1000. Число исходов, благоприятствующих получению выигрыша, составляет m=200. Согласно формуле P(A)=m/n , получим Р(А)=200/1000=1/5=0,2.
Пример 2.
Из урны, в которой находятся 5 белых и 3 черных шара, вынимают один шар. Найти вероятность того, что шар окажется черным.
Решение.
Обозначим событие, состоящее в появлении черного шара, через А. Общее число случаев n=5+3=8. Число случаев m, благоприятствующих появлению события А, равно 3. По формуле P(A)=m/n получим Р(А)=m/n=3/8=0,375.
Пример 3.
Из урны в которой находится 12 белых и 8 черных шаров, вынимают наудачу два шара. Какова вероятность того, что оба шара окажутся черными?
Решение.
Обозначим
событие, состоящее в проявлении черного
шара, через А. Общее число возможных
случаев n
равно числу сочетаний из 20 элементов
(12+8) по два:
Число
случаев m,
благоприятствующих событию А, составляет
По формуле P(A)=m/n находим вероятность появления двух черных шаров: Р(А)=m/n=28/190=14/95=0,147.
Пример 4.
Найти вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажется кратным либо 3, либо 5, либо тому и другому одновременно.
Решение.
Пусть А- событие, состоящее в том, что наудачу взятое число кратно 3, а В- в том, что оно кратно 5. Найдем Р(А+В). Так как А и В совместные события, то воспользуемся формулой Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ).
Всего имеется 90 двузначных чисел: 10,11,…,98,99. Из них 30 являются кратными 3 (благоприятствуют наступлению события А); 18- кратными 5 (благоприятствуют наступлению события В) и 6- кратными одновременно 3 и 5 (благоприятствуют наступлению события АВ). Таким образом, Р(А)=30/90=1/3, Р(В)=18/90=1/5, Р(АВ)=6/90=1/15, т.е. Р(А+В)=1/3+1/5-1/15=7/15=0,467.
Пример 5.
В одной урне находится 4 белых и 8 черных шаров, в другой – 3 белых и 9 черных. Из каждой урны вынули по шару. Найти вероятность того, что оба шара окажутся белыми.
Решение.
Пусть А - появление белого шара из первой урны, а В - появление белого шара из второй урны. Очевидно, что события А и В независимы. Найдем Р(А) = 4/12=1/3, Р(В) = 3/12=1/4.
По формуле получим Р(АВ)=Р(А)*Р(В)=(1/3)*(1/4)=1/12=0,083.
Задания для самостоятельного выполнения:
Найти вероятности данных событий.
Вариант 1.
1. В лотерее из 50 билетов 8 выигрышных. Какова вероятность того, что среди пяти наугад выбранных билетов два окажутся выигрышными?
2. На карточках разрезной азбуки написаны 32 буквы русского алфавита. 4 карточки вынимают наугад одну за другой и укладывают на стол в порядке появления. Какова вероятность того, что получится слово “ Югра”?
Вариант 2.
1. Из шести одинаковых карточек разрезной азбуки: “а”, ”е”, ”м”,”н”,”о”, ”р” наудачу выбирают четыре карточки и складывают их в ряд в порядке их извлечения. Какова вероятность при этом получить слово “море”?
2. В партии из 15 деталей имеется 9 стандартных. Найдите вероятность того, что среди семи взятых наугад деталей 5 стандартных?
Вариант 3.
1. На шести одинаковых карточках написаны буквы “а”, ”в”, ”к”,”м”, ”о”, ”с” . Карточки перемешивают и раскладывают наудачу в ряд. Какова вероятность того, чтобы получилось слово “Москва”?
2. В партии из 10 деталей имеется 8 стандартных. Найдите вероятность того, что среди двух взятых наугад деталей одна бракованная?
Вариант 4.
1. Из урны, содержащей 5 шаров с цифрами 1, 2, 3,4,5 извлекают наудачу все шары один за другим. Какова вероятность того, что номера извлеченных шаров идут в порядке возрастания?
2. Экзаменационные билеты пронумерованы числами от 1 до 35. Какова вероятность того, что номер выбранного билета нечётный?
Вариант 5.
1. В партии из 100 деталей 5 % бракованных. Какова вероятность того, что наугад выбранная деталь окажется стандартной?
2. Трехтомное собрание сочинений М.Ю. Лермонтова расположено на полке в случайном порядке. Какова вероятность того, что тома стоят по порядку номеров?
Вариант 6.
1. Из полного набора домино наудачу извлекают одну кость. Какова вероятность того, что число очков на ней четно?
2. Из 50 электролампочек имеется 4 бракованных. Какова вероятность того, что две взятые наугад лампы окажутся бракованными?
Вариант 7.
1. Из 60 экзаменационных вопросов учащийся подготовил 50. На экзамене он должен ответить на два вопроса. Какова вероятность того, что учащийся ответит на оба вопроса?
2. В книжном магазине на полке лежит 20 книг, причем 10 книг стоят по 20 руб. каждая, 3 книги - по 40 руб. и 7 книг - по 10руб. Найти вероятность того, что взятые наугад две книги стоят 50 руб.?
Вариант 8.
1. Из 10 билетов лотереи выигрышными являются два. Какова вероятность того, что среди взятых наудачу пяти билетов два выигрышных?
2. На шести одинаковых карточках написаны буквы “а”, ”в”, ”к”,”м”, ”о”, ”с” . Карточки перемешивают и раскладывают наудачу в ряд. Какова вероятность того, чтобы получилось слово “Москва”?
Вариант 9.
1. В урне 100 шаров, помеченных номерами 1,2,3,…100. Из урны наугад выбирают один шар. Какова вероятность того, что номер вынутого шара содержит цифру 5?
2. Задания программированной контрольной работы пронумерованы всеми двухзначными числами. Какова вероятность того, что номер наугад выбранного задания состоит из одинаковых цифр?
Вариант 10.
1. В урне 6 белых и 9 черных шаров. Из урны вынимают одновременно два шара. Какова вероятность того, что оба шара окажутся черными?
2. На карточках разрезной азбуки написаны 32 буквы русского алфавита. Шесть карточек вынимают наугад одну за другой и укладывают на стол в порядке появления. Какова вероятность того, что получится слово “ призма”?
Вариант 11.
1. В партии из 8 деталей имеется 6 стандартных. Какова вероятность того, что среди пяти взятых наугад деталей ровно 3 стандартных?
2. Четырехтомное собрание сочинений А.С. Пушкина расположено на полке в случайном порядке. Какова вероятность того, что тома стоят по порядку номеров?
Вариант 12.
1. Восемь различных книг расставляют наугад на одной полке. Какова вероятность того, что две определенные книги окажутся поставленными рядом?
2. Экзаменационные билеты пронумерованы числами от 1 до 35. Какова вероятность того, что номер выбранного билета чётный?
Вариант 13.
1. В урне 7 белых и 5 черных шаров. Из урны наугад вынимают два шара. Найдите вероятность того, что два шара белые.
2. В книжном магазине на полке лежит 20 книг, причем 10 книг стоят по 20 руб. каждая, 3 книги - по 40 руб. и 7 книг - по 10руб. Найти вероятность того, что взятые наугад две книги стоят 30 руб.?
Вариант 14.
1. В урне 8 красных и 5 синих шаров. Из урны наугад вынимают два шара. Найдите вероятность того, что они разного цвета.
2. Брошена игральная кость. Какова вероятность того, что выпадет четное число очков?
Вариант 15.
1. Десять различных книг расставляют наугад на одной полке. Найдите вероятность того, что три определенные книги окажутся поставленными рядом.
2. В партии из 12 деталей имеется 9 стандартных. Найдите вероятность того, что среди семи взятых наугад деталей 6 стандартных?
Вопросы самоконтроля:
Что называется вероятностью события?
Сформулируте теоремы сложения и умножения вероятностей.
Приведите примеры совместных и несовместных, независимых событий;