Практическое занятие № 5 вычисление определителей третьего порядка
Цель:
- сформировать навыки вычисления определителей 3-го порядка методом разложения по элементам первой строки и по правилу треугольников;
- развить умение преобразования определителя по его свойствам;
- закрепить знания о действиях с числами противоположных знаков;
Материально – техническое обеспечение: методические указания по выполнению работы;
Время выполнения: 2 академических часа;
Ход занятия:
Изучить краткие теоретические сведения;
Выполнить задания;
Сделать вывод по работе;
Подготовить защиту работы по контрольным вопросам.
Краткие теоретические сведения:
Определителем матрицы третьего порядка называется число, определяемое равенством:
.
Это число представляет алгебраическую сумму, состоящую из шести слагаемых. В каждое слагаемое входит ровно по одному элементу из каждой строки и каждого столбца матрицы. Каждое слагаемое состоит из произведения трех сомножителей.
Рис.1.1. Рис.1.2.
Знаки, с которыми члены определителя входят в формулу нахождения определителя третьего порядка можно определить, пользуясь приведенной схемой, которая называется правилом треугольников или правилом Сарруса. Первые три слагаемые берутся со знаком плюс и определяются из рисунка (1.1.), а последующие три слагаемые берутся со знаком минус и определяются из рисунка (1.2).
Пример 1. Вычислить определитель третьего порядка по правилу Сарруса:
Решение:
Пример 2. Вычислить определитель третьего порядка методом разложения по элементам первой строки:
;
Решение:
Используем формулу:
= 3
-2
+2
= 3(-5 + 16) – 2( 1+32) + 2( 2 + 20)= = 33 – 66 + 44 = 11.
Рассмотрим основные свойства определителей:
Определитель с нулевой строкой (столбцом) равен нулю.
Если у матрицы умножить любую строку (любой столбец) на какое-либо число, то определитель матрицы умножится на это число.
Определитель не меняется при транспонировании матрицы.
Определитель меняет знак при перестановке любых двух строк (столбцов) матрицы.
Определитель матрицы с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен нулю.
Определитель не меняется, если к какой-нибудь строке прибавить любую другую строку, умноженную на любое число. Аналогичное утверждение справедливо и для столбцов.
Задания для самостоятельного выполнения:
I. Найдите значение определителя по правилу треугольников (правило Сарруса).
II. Разложите определитель по элементам первой строки и вычислите его.
III. Используя свойства определителя, докажите равенство.
Вариант 1.
1.
;
2.
;
3.
= 0;
Вариант 2.
1.
;
2.
;
3.
=
0;
Вариант 3.
1.
;
2.
;
3.
= 0;
Вариант 4.
1.
;
2.
;
3.
=
0;
Вариант 5.
1.
;
2.
;
3.
= 0.
Вариант 6.
1.
;
2.
;
3.
= 0.
Вариант 7.
1.
;
2.
;
3.
=
0.
Вариант 8.
1.
;
2.
;
3.
= 0.
Вариант 9.
1.
;
2.
;
3.
= 0.
Вариант 10.
1.
;
2.
;
3.
= 0.
Вариант 11.
1.
;
2.
;
3.
= 0.
Вариант 12.
1.
;
2.
;
3.
= 0.
Вариант 13.
1.
;
2.
;
3.
= 0.
Вариант 14.
1.
;
2.
;
3.
= 0.
Вариант 15.
1.
;
2.
;
3.
= 0.
Вопросы для самоконтроля:
Что называют определителем третьего порядка?
Сформулируйте правило треугольников для вычисления определителя третьего порядка.
Запишите формулу разложения определителя третьего порядка по элементам первой строки.
Назовите основные свойства определителя.