Практическое занятие № 7 вычисление пределов функции в заданной точке

Цель:

- сформировать навыки вычисления пределов в точке;

- развить умение раскрывать неопределённости вида

- закрепить знания о способах разложения многочлена на линейные множители;

Материально – техническое обеспечение: методические указания по выполнению работы;

Время выполнения: 2 академических часа;

Ход занятия:

Изучить краткие теоретические сведения;
Выполнить задания;
Сделать вывод по работе;
Подготовить защиту работы по контрольным вопросам.

Краткие теоретические сведения:

Предельное значение функции в заданной точке — такая величина, к которой стремится рассматриваемая функция при стремлении её аргумента к данной точке.

Если такой предел существует, то говорят, что функция сходится к указанному значению; если такого предела не существует, то говорят, что функция расходится.

Отсутствие предела функции (в данной точке) означает, что для любого заранее заданного значения области значений и всякой его окрестности сколь угодно близко от заданной точки существуют точки, значение функции в которых окажется за пределами заданной окрестности.

Если в некоторой точке области определения функции существует предел и этот предел равен значению в данной функции, то функция оказывается непрерывной (в данной точке).

Определение 1: Пусть функция f (x) определена в некоторой окрестности точки а, кроме самой точки а. Число В называют пределом функции f(x) в точке а, если для любой последовательности значений аргументов х₁, х₂, х₃, …, х_n, стремящихся к а, последовательность соответствующих значений функции f(x₁), f(x₂), …, f(x_n), сходится к числу В.

Обозначение: f(x) = В, если х_n → а при f(x_n) →В.

Для предела функции в точке справедливы следующие теоремы:

Теорема 1. Если f(x) = А, g(x) = В, то предел суммы функций f(x) и g(x) при х→а равен сумме пределов этих функций, т.е.

(f(x) ± g(x)) = f(x) ± g(x).

Теорема 2. Если f(x) и g(x) имеют пределы при х→а, то предел произведения функций при х→а равен произведению пределов этих функций, т.е.

(f(x) · g(x)) = f(x) · g(x).

Следствие 1. (С∙f(x)) = С ∙ f(x).

Следствие 2. С = С.

Теорема 3. Если функции f(x) и g(x) имеют пределы при х→а, причем предел функции g(x) ≠ 0, то имеет место равенство:

Рассмотрим вычисление пределов функций на конкретных примерах.

Пример 1. Найти предел в заданной точке:

Решение:

При непосредственной подстановке х = 2 получим неопределенность вида [0/0]. Раскрыть эту неопределенность возможно, разложив числитель и знаменатель на линейные множители по формулам: