3.4.2. Скорости и ускорения точки при естественном способе задания её движения

Закон движения точки в этом случае записывается так За время дуговая координата точки изменится на величину . Средняя скорость изменения дуговой координаты будет равна (рис. 16)

Рис. 16. Схема к определению скорости точки

при естественном способе задания ее движения

(45)

Переходя к пределу, найдем численную величину скорости точки в данный момент времени

(46)

Численная величина скорости точки в данный момент времени равна первой производной от криволинейной координаты по времени.

Ускорение точки при естественном способе задания её движения рассматривается относительно самой траектории движения. Для четкости представления закономерности изменения модуля и направления вектора ускорения вводятся естественные оси: . Они необходимы для того, чтобы учесть изменение кривизны траектории движения точки в пространстве. Естественные оси направляются так, как показано на рис. 17.

Рис. 17. Схема к анализу образования касательного и

нормального ускорений точки

Касательная ось - вдоль касательной к траектории в сторону положительного отсчета координаты ;

Нормальная ось - по нормали, лежащей в соприкасающейся плоскости и направленной в сторону вогнутости траектории;

Бинормальная ось - перпендикулярно первым двум осям так, чтобы она образовала с ними правую систему координат.

Нормаль называют главной нормалью, а - бинормалью.

Нам уже известно, что полное ускорение точки , движущейся по криволинейной траектории, направлено в сторону вогнутости кривой и лежит в соприкасающейся плоскости.

Проектируя полное ускорение точки на касательную и нормаль, получим касательное и нормальное ускорения (рис. 17).

Касательное ускорение точки

Пусть в момент времени точка занимает положение (рис. 17) и имеет скорость , а в момент времени - положение и - скорость . Тогда предел отношения разности скоростей ко времени определит касательное ускорение точки в данный момент времени. Из рис. 17 находим

(47)

Поскольку при угол и , то

(48)

Следовательно, касательное ускорение направлено вдоль касательной к траектории и численно равно

(49)

Нормальное ускорение точки

Для определения нормального ускорения возьмем предел разности проекций скоростей точек и на нормаль к интервалу времени их изменения . Из рис. 17 также имеем

(50)

Составляющие формулы (50) равны:

(51)

и

(52)

Величина - кривизна кривой, а - радиус ее кривизны.

После подстановки полученных данных в исходное уравнение (50) окончательно имеем

. (53)

Нормальная составляющая полного ускорения точки при ее криволинейном движении равна частному от квадрата скорости на радиус кривизны траектории в данный момент времени.