3.3. Законы движения точки

Точка – упрощённая модель реального материального объекта, которая позволяет описать его движение математически. Основные способы задания движения точки по отношению к выбранной системе отсчета: координатный; векторный и естественный.

3.3.1. Координатный способ задания движения точки

Положение точки по отношению к выбранной системе отсчета ХОY определяют ее декартовы координаты (рис. 14).

Рис. 14. Схема к координатному и векторному

способам задания движения точки М

При изменении положения точки ее координаты меняются, поэтому они являются функциями времени:

(27)

Эти уравнения описывают закон движения точки в пространстве. Если точка М движется в плоскости XOY, то (рис. 14) и уравнение движения точки принимает вид

; . (28)

Когда точка движется по прямой линии, например, вдоль оси OX (рис. 14), то и , и уравнение её движения записывается так

. (29)

Приведенные уравнения закона движения точки (27-29) содержат переменный параметр , поэтому их называют параметрическими уравнениями движения точки. Чтобы найти уравнение траектории движения точки (27) и (28), надо исключить параметр .

3.3.2. Векторный способ задания движения точки

Положение точки в системе отсчета можно определить с помощью радиуса – вектора , проведенного из начала координат в точку М (рис. 14). При движении точки ее координаты изменяются, изменяется модуль и направление вектора . Таким образом, вектор является переменным вектором (вектором функцией), зависящим от аргумента , поэтому можно записать:

, (30)

где x, y, z - проекции вектора на оси координат; - единичные векторы - орты декартовых осей (рис. 14).

Приведенные уравнения определяют закон движения точки в векторной форме. Так как проекции вектора на оси координат равны координатам его конца, то есть, координатам точки , то уравнение (30) позволяет перейти от векторного способа задания движения точки к координатному. В уравнении (30) и Поэтому модуль вектора определится по формуле (рис. 14)

(31)

а направление вектора в пространстве определится через направляющие косинусы (рис. 14):

(32)

(33)

(34)

Таким образом, приведенные формулы позволяют определить в любой момент времени положение конца вектора в пространстве, соответствующее положению точки .

Пример. Точка движется по закону: Здесь: Пусть , тогда Таким образом, при координаты точки равны: . По этим координатам определяют положение точки в пространстве в момент времени .

Как видно, преимущество векторного способа задания движения точки заключается в экономности записи (30), а недостаток в том, что при построении траектории движения приходится переходить к координатам точки (27).