Закон плоского движения твердого тела

Чтобы найти метод математического описания плоского движения твердого тела, рассмотрим это движение подробнее (рис. 23).

Центр кольца совершает поступательное движение со скоростью . Следовательно, уравнения поступательного движения центра кольца имеют вид:

(74)

Второе движение кольца – вращательное относительно центра с угловой скоростью . Эта часть движения описывается уравнением

. (75)

Таким образом, плоское (плоскопараллельное) движение кольца описывается тремя уравнениями (74), (75). Два первых описывают поступательное движение, а третье – вращательное.

Таким образом, плоское движение твердого тела в общем случае складывается из поступательного движения одной из его точек, например, точки , взятой за полюс, и вращательного движения вокруг оси, проходящей через этот полюс перпендикулярно плоскости движения (плоскости П). Следовательно, закон плоского движения тела определится тремя уравнениями, называемыми уравнениями плоского движения твердого тела. Поскольку все точки тела в поступательном движении движутся с одной и той же скоростью, то любую точку тела можно брать в качестве полюса. Однако, при решении конкретных задач в качестве полюса выбирают ту точку, которая приводит к получению простых уравнений движения. Нетрудно видеть, что при качении кольца такими точками являются точка или точка () касания кольца с прямой, по которой оно катится.

3.8. Скорости и ускорения точки катящегося кольца

Начнём с самого простого случая. Составим уравнения движения точки , расположенной на самом кольце для случая, когда кольцо движется без буксования и скольжения (рис. 23). В этом случае поступательная скорость кольца будет равна по модулю окружной скорости , а в точке их векторы будут направлены в противоположные стороны. Поэтому скорость точки в момент совпадения с точкой будет равна нулю. Эту точку называют мгновенным центром вращения.

Конечно, точку можно взять в качестве полюса, однако уравнения движения точки оказываются проще, если в качестве полюса взять центр кольца – точку и учесть, что , то из рис. 23 имеем:

(76)

Дифференцируя эти уравнения, найдём проекции скорости точки на оси координат.

(77)

Учитывая, что при отсутствии буксования и скольжения кольца у точки поступательная и окружная скорости равны , найдём её абсолютную скорость (рис. 23)