10. Метод відносних різниць
Метод відносних різниць є різновидом методу абсолютних різниць і також застосовується тільки для мультиплікативних і мультиплікативно-адитивних моделей.
Основна його відмінність від методу абсолютних різниць полягає в тому, що вихідні дані щодо зміни факторних показників дані у відсотках приросту.
Тоді зміна результуючого показника за рахунок i -го фактора визначається наступним чином:
xj
xj
xi
• dxi, i = 1, ..., n
Ax =
Axi xi
i-1
У0 + 2 A
j = 1
i-1
У0 + 2 A
j = 1
Результати розрахунків в цьому випадку аналогічні тим, що можуть бути отримані при використанні інших методів елімінування, подібних методу ланцюгових підстановок. Недоліки методу такі ж, як і у всього цього класу, і головний з них - зміна результату в залежності від зміни порядку розгляду факторів. І причина цього недоліку криється, як вже було показано вище, в тому, що диференціал дорівнює збільшенню функції лише у разі нескінченно малих величин.
Тема 1.7. Економіко-математичні методи в економічного аналізу
1. Класифікація економіко-математичних методів і область їх використання .
2.Методи кореляційно-регресійного аналізу .
3.Динамічне і лінійне програмування .
4. Матричні методи .
1. Класифікація економіко-математичних методів і область їх використання
Застосування економіко-математичних методів (ЕММ) у системі функціонування організації викликано необхідністю підвищення ефективності процесів виробництва і обслуговування за умови раціонального використання наявних ресурсів через прийняття оптимальних управлінських рішень.
Основою формулювання економічної оптимізаційної задачі є можливість взаємозамінності способів виробництва товарів (надання послуг), допустимість багатьох варіантів використання матеріальних, трудових, фінансових, інформаційних ресурсів і вибору кращих з них.
Математичне програмування охоплює задачі пошуку екстремуму функції за наявності обмежень. Загальне завдання математичного програмування формулюється так: знайти величини керуючих факторів, при яких забезпечується максимум (мінімум) заданої цільової функції в області допустимих значень, що визначається деяким набором обмежень.
Оптимальність розв'язку означає, насамперед, його допустимість (тобто сумісність з усіма заданими умовами, що враховуються під час прийняття рішення). З усіх допустимих розв'язків оптимальним є той, для якого досягається екстремальне (максимальне чи мінімальне) значення критерію ефективної моделі. Формально багато проблем функціонування організацій можна пов'язати з раціональним використанням тих чи інших ресурсів, що дозволяє використати для їх розв'язання методи математичного програмування.
Загальна структура оптимізаційних моделей складається із цільової функції,яка набуває значення в межах обмеженого умовами задачі (області допустимих розв'язків), та із обмежень,що характеризують ці умови. Цільова функціяв загальному вигляді визначається трьома моментами: керованими змінними, некерованими параметрами (залежними, наприклад, від зовнішнього середовища) і видом (формою) залежності між ними (видом функції).
Загальний вигляд оптимізаційної моделі такий:
де U – критерій оптимальності;
х=(х1, х2,...,хn) – керовані змінні;
р=(р1, р2,...,рn) – параметри;
М – задані межі (область) зміни керованих зміних.
Задачі такого виду розв'язують методами математичного програмування, в яке входить лінійне, нелінійне, динамічне, цілочислове програмування та ін. Вибір методів математичного програмування для розв'язування оптимізаційних задач визначається видом цільової функції: обмежень, що визначають область зміни керованих змінних (наприклад, вимоги їх чисельності). Розв'язок задачі називається оптимальним рішенням або оптимальним планом.
Задачі лінійного програмування. У загальному вигляді задача лінійного програмування (ЗЛП) формулюється так: знайти вектор х=(х1, х2,...,хn) який максимізує (мінімізує) лінійну цільову функцію:
а також задовольняє лінійні функціональні обмеження:
Крім того вектор повинен задовольняти прямі обмеження:
Ця задача може бути записаною в канонічній формі, при якій функціональні обмеження мають вигляд рівностей. Цього досягають додаванням до лівих частин цих обмежень m додаткових невід'ємних змінних. ЗЛП у канонічній формі розв'язують симплексним методом. Вирішення ЗЛП дає змогу знайти оптимальне управлінське рішення для різноманітних випадків, зокрема таких:
V оптимізація закріплення споживачів до постачальників;
V оптимізація завантаження виробничих потужностей;
V складання оптимальних сумішей (рецептів);
V оптимальний розкрій промислових матеріалів;
V оптимізація маршрутів комівояжерів тощо.
Задачі нелінійного програмування.Методи нелінійного програмування застосовують для розв'язування оптимізаційних задач, в яких цільова функція або обмеження (або перше і друге одночасно) характеризуються нелінійними залежностями. Ознаками нелінійності є, зокрема, наявність змінних, в яких показник степеня відмінний від одиниці, а також наявність змінного в показнику степеня, під коренем, під знаком логарифму. У разі нелінійності цільової функції оптимальне значення досягається не тільки на межі області допустимих значень (як це відбувається в задачах лінійного програмування), а всередині області, що значно ускладнює пошук оптимального значення. Також можливі варіанти, коли існуватимуть так звані локальні екстремальні точки, в той час як дослідника цікавить єдиний глобальний екстремум, де досягається шукане оптимальне значення. Нелінійність обмежень може привести до випадку з неопуклою областю допустимих значень, що надзвичайно ускладнює побудову ефективних алгоритмів пошуку оптимальних значень. З цього класу найбільш досліджені задачі з опуклими цільовими функціями при лінійного виду обмеженнях (існує єдиний оптимальний розв'язок). До розв'язування даного класу задач можна залучити ряд стандартних градієнтних або ньютонівських методів розв'язування. Ці методи реалізовані у спеціалізованих пакетах математичного програмного забезпечення.
Прикладомцього класу задач є задача про розміщення складів, коли необхідно мінімізувати загальну суму транспортних і складських витрат при таких обмеженнях:
=> з кожного підприємства повинна бути відвантаженою вся продукція;
=> не може бути перевищеною місткість будь-якого складу;
=> повинні бути задоволені всі замовлення усіх споживачів.
У процесі розв'язування задачі знаходять оптимальну за мінімумом затрат тричленну комбінацію: підприємство - склад - споживач.