13Тема: Обзор остальных способов стохастического факторного анализа

13.1Дисперсионный анализ

Дисперсионный анализ в математике, статистический метод выявления влияния отдельных факторов на результат эксперимента. Первоначально Дисперсионный анализ (в математике) был предложен английским статистиком Р. Фишером (1925) для обработки результатов агрономических опытов по выявлению условий, при которых испытываемый сорт с.-х. культуры даёт максимальный урожай. Современные разаработки охватывают широкий круг задач экономики, биологии и техники и трактуются обычно в терминах статистической теории выявления систематических различий между результатами непосредственных измерений, выполненных при тех или иных меняющихся условиях. Если значения неизвестных постоянных a1,...., an могут быть измерены с помощью различных методов или измерительных средств M1,..., Мm и в каждом случае систематическая ошибка может зависеть как от выбранного метода, так и от неизвестного измеряемого значения ai, то результаты измерений xij представляют собой суммы вида

  xij = aij + bij + dij,

  i = 1, 2,..., n; j = 1, 2,..., m,

где bij — систематическая ошибка, возникающая при измерении ai по методу Mj, dij — случайная ошибка. Такая модель называется двухфакторной схемой

Сущность дисперсионного анализа заключается в расчленении общей дисперсии изучаемого признака на отдельные компоненты, обусловленные влиянием конкретных факторов, и проверке гипотез о значимости влияния этих факторов на исследуемый признак. Сравнивая компоненты дисперсии друг с другом посредством F — критерия Фишера, можно определить, какая доля общей вариативности результативного признака обусловлена действием регулируемых факторов.

Обобщенно задача дисперсионного анализа состоит в том, чтобы из общей вариативности признака выделить три частные вариативности:

- Вариативность, обусловленную действием каждой из исследуемых независимых переменных.

- Вариативность, обусловленную взаимодействием исследуемых независмых переменных.

- Вариативность случайную, обусловленную всеми неучтенными обстоятельствами.

Исходным материалом для дисперсионного анализа служат данные исследования трех и более выборок, которые могут быть как равными, так и неравными по численности, как связными, так и несвязными. По количеству выявляемых регулируемых факторов дисперсионный анализ может быть однофакторным (при этом изучается влияние одного фактора на результаты эксперимента), двухфакторным (при изучении влияния двух факторов) и многофакторным (позволяет оценить не только влияние каждого из факторов в отдельности, но и их взаимодействие).

Дисперсионный анализ относится к группе параметрических методов и поэтому его следует применять только тогда, когда доказано, что распределение является нормальным. 

13.2Компонентный анализ

Компонентный анализ является методом определения структурной зависимости между случайными переменными. В результате его использования получается сжатое описание малого объема, несущее почти всю информацию, содержащуюся в исходных данных. Главные компоненты получаются из исходных переменных путем целенаправленного вращения, т.е. как линейные комбинации исходных переменных. Вращение производится таким образом, чтобы главные компоненты были ортогональны³ и имели максимальную дисперсию среди возможных линейных комбинаций исходных переменных X. При этом переменные не коррелированы между собой и упорядочены по убыванию дисперсии (первая компонента имеет наибольшую дисперсию). Кроме того, общая дисперсия после преобразования остается без изменений.

Факторный анализ является более общим методом преобразования исходных переменных по сравнению с компонентным анализом.