Лабораторная работа № 2 Синтез логических схем на элементах комбинационного типа

Цель работы - реализация различных двоичных функций, заданных таблицей истинности, при помощи логических элементов с потенциальным способом задания информации. Освоение применения законов, теорем и правил преобразования булевых функций с целью получения схем с наименьшим количеством элементов. Приобретения навыков построения эквивалентных комбинационных схем на различных логических элементах.

Освоение пользовательского интерфейса макета УМ-11 и навыков построения схем, согласно возможностям элементной и схемотехнической базы макета.

Продолжительность работы: часть 1 (на макете УМ-11) - 2 часа, часть 2 (на ПЭВМ) - 2 часа.

1. Краткая характеристика объекта изучения.

В цифровой вычислительной технике (ЦВТ) вся информация, необходимая для вычислительного процесса, представляется в виде набора дискретных сигналов. Каждый из сиг­налов может принимать одно из двух возможных значений, обознача­емых «1» и «0». Символ «1» обозначает наличие сигнала, «0» – его отсутствие.

В схемах цифровых вычислительных устройств переменные и со­ответствующие им сигналы изменяются и воспринимаются не непрерыв­но, а лишь в дискретные моменты времени, обозначаемые целыми положительными числами.

t_i = 0,1,…,i,…,n

При потенциальном способе представления информации при положительной логике двум зна­чениям переменной “1” и “0” соответствует высокий и низкий уровни напряжения. Потенциальный сигнал сохраняет постоянный уровень (нулевой или единичный) в течение периода представления информа­ции (такта).

Понятие о комбинационной схеме и цифровом автомате.

Преобразование информации в ЦВТ производится электронными устройствами двух классов: комбинационными устройствами (схемами) и последовательностными устройствами (цифровыми автоматами или автоматами с памятью).

В комбинационных схемах (КС), называемых также автоматами без памяти, совокупность выходных сигналов (выходное слово Y) в дискретный момент времени t_i однознач­но определяется входными сигналами (входным словом X), посту­пившим на входы в тот же дискретный момент времени.

Реализуемый в этих схемах способ обработки информации назы­вается комбинационным, т.к. результат обработки информации зави­сит от комбинации входных сигналов и вырабатывается сразу после подачи на входы входной информации.

Закон функционирования КС определен, если задано соответствие между входными словами и её выходными словами в табличной или аналитической форме.

Y_i=f_i(x₁,x₂,…,x_n)

В алгебре логики (булевой алгебре) обычно все X_i и Y_i могут принимать только два значения: 0 и 1. В этом случае функции f₁…f_m назы­ваются функциями алгебры логики (булевыми или двоичными функциями).

Другой, более сложный, класс преобразователей цифровой инфор­мации составляют цифровые автоматы. Цифровой автомат, в отличие от логической схемы, имеет некоторое конечное число различных внутренних состояний.

Q = {q₀, q₁,…, q_k}

Под воздействием входного слова цифровой автомат переходит из од­ного состояния в другое и выдает выходное слово. Выходное слово на выходе цифрового автомата в дискретный момент времени определяется входным словом, поступившим в этот момент времени на вход автомата, и внутренним состоянием автомата, которое явилось резу­льтатом воздействия на автомат входных слов в предыдущие моменты времени.

Цифровой автомат обязательно содержит память, состоящую из запоминающих элементов (триггеров, элементов задержки и др.), фиксирующих состояние, в котором он находится.

Комбинационная схема не содержит запоминающих элементов, поэтому её называют автоматом без памяти или “примитивным автоматом”

Элементы алгебры логики.

Логика в общем смысле – это наука о формах и законах мышления. Математическая логика – наука о применении математических методов для решения различных логических задач.

В ЦВТ для целей проектирования используется, главным образом, начальный раздел математической логики – исчисление высказываний (алгебра логики, булева алгебра).

Возможность применения алгебры логики к задачам проектирования цифровых устройств обусловлена аналогией понятий и категорий алгебры логики и двоичной системы счисления.

Множество элементов, которые рассматриваются в алгебре логики равно 2. Эти элементы получили название двоичных переменных. Для них в алгебре логики определены:

– отношение эквивалентности, обозначаемое символом равенства “ = ”,

– три операции:

1) операция логического сложения (дизъюнкции), обозначаемая символом “” или “+”,

2) операция логического умножения (конъюнкции), обозначаемая символом “” или “” или “”,

3) операция логического отрицания (инверсии), обозначаемая черточкой над двоичной переменной “ ”.

В качестве постулатов или аксиом принимается, что при выполнении перечисленных операций отношения эквивалентности имеют следующий вид:

а) 0+0=0 б) 00=0 в) =1

0+1=1 01=0 = 0

1+0=1 10=0

1+1=1 11=1

Возможна и другая система постулатов. На основании постулатов выводятся соотношения или законы алгебры логики для двоичных переменных.

Законы одинарных элементов:

а) закон универсального множества – , ,

б) закон нулевого множества – , .

Законы отрицания:

а) закон двойного отрицания – ,

б ) закон дополнительности – , ,

в) закон двойственности – , .

Комбинационные законы:

а) закон тавтологии – ,

б) переместительный закон – ,

в) сочетательный закон – , ,

г) распределительный закон – , ,

д) закон поглощения – , ,

е) закон склеивания – , .

Законы двойственности, называемые также законами де Моргана, были обобщены Шенноном в следующую теорему:

Операция инвертирования произвольной комбинации двоичных переменных, связанных знаками дизъюнкции и конъюнкции эквивалентна замене в этой комбинации исходных значений двоичных переменных их инверсными значениями при одновременной смене знаков дизъюнкции и конъюнкции.

f(х₁,х₂,…,х_p,” + ”, ”  “)=f(х₁,х₂,…,х_p ,”  ”, “ + ”).

Двоичной (булевой) функцией называется двоичная переменная (у), значения которой зависят от значений других двоичных переменных (х₁,х₂,…,х_р), называемых аргументами, т.е.

У=f(х₁,х₂,…,х_р).

Чтобы задать двоичную функцию, необходимо каждому из возможных сочетаний (наборов) её аргументов поставить в соответствие определенное значение функции “у” т.е. 1 или 0, поскольку двоичная функция, как и её аргументы принимает только два значения 1 или 0.

При числе аргументов функции равном “р”, полное число различных наборов аргументов

.

Поскольку каждому набору могут соответствовать два значения “у” (0 или 1), то общее число различных функций от “р”аргументов будет определяться следующим соотношением

F=2^2.

Для р=1, F=4 т.е. существует 4 функции одного переменного, табл.1.1

Таблица.1.1.

Х	0		1	Выражение у=f(х)	Наименоние у=f(х)
№ п/п	Значение f(х)
0	0	0		у0=0	Константа 0
1	0	1		у1=х	Повторение
2	1	0			Функция НЕ
3	1	1		у3=1	Константа 1

Для р=2, F=16, т.е. существует 16 различных функций от двух переменных, табл.1.2.

Таблица.1.2.

х1	0	1	0	1	Выражение функции у=f(х1,х2) через три основные операции	Наименование функции у=f(х1,х2)
х2	0	0	1	1
№ п/п	Значения у=f(х1,х2)
0	0	0	0	0	у=0	Константа нуля
1	0	0	0	1	у1=х1х2=х1х2	Конъюнкция
2	0	0	1	0		Запрет по х1
3	0	0	1	1	у3=х2	Тавтология х2
4	0	1	0	0		Запрет по х2
5	0	1	0	1	у5=х1	Тавтология х1
6	0	1	1	0		Исключающее ИЛИ
7	0	1	1	1	у7=х1+х2=х1 х2	Дизъюнкция
8	1	0	0	0		Стрелка Пирса
9	1	0	0	1		Равнозначность
10	1	0	1	0		Инверсия х1
11	1	0	1	1		Импликация от х1 к х2
12	1	1	0	0		Инверсия х2
13	1	1	0	1		Импликация от х2 к х1
14	1	1	1	0		Штрих Шеффера
15	1	1	1	1	у15=1	Константа единицы