4 Характеристика закономерности рядов распределения
Одной из важных задач в статистике является выявление закономерности распределения и определение ее характера. В вариационных рядах существует определенная связь в изменении частот и значений признака: с увеличением значений признака частоты вначале возрастают до определенной величины, а затем убывают. Такие изменения частот в вариационных рядах называются закономерностями распределения.
Для получения представления о форме распределения строятся графики кривых распределения (полигоны, гистограммы).
Кривая распределения – это графическое изображение в виде непрерывной линии изменений частот в вариационном ряду, отражающая как общие, так и случайные условия, определяющие распределение.
В статистической практике встречаются различные виды распределений. Наиболее общим является распределение, называемое нормальным.
Нормальное распределение предполагает, что:
- отклонения от среднего значения являются результатом большого количества мелких отклонений;
- позитивные и негативные отклонения равновероятны;
- наиболее вероятным значением всех, в равной мере надежных измерений, является их средняя арифметическая.
Нормальное распределение описывается уравнением:
,
где
- ордината кривой нормального распределения;
- нормированное
отклонение;
и
математические
постоянные;
- варианты вариационного ряда;
- средняя величина;
- среднее
квадратическое отклонение.
Согласно нормальному
закону распределения колеблемость
индивидуальных значений признака
находится в пределах
:
- 68,3%
- 95,4%
- 99,7%.
Нормальному распределению соответствует симметричное распределение, но чаще всего встречается асимметричное распределение. В нем вершина кривой сдвинута либо вправо, либо влево.
Если вершина сдвинута влево, то правая часть длиннее левой и асимметрия является правосторонней
Если вершина сдвинута вправо, то левая часть длиннее правой и асимметрия является левосторонней
Асимметрия измеряется с помощью следующих показателей:
.
Если As>0, то асимметрия правосторонняя, если As<0, то асимметрия левосторонняя.
Показатель, основанный на моменте третьего порядка:
,
где
- центральный момент третьего порядка.
Если
,
то асимметрия считается значительной,
в противном случае незначительной.
Оценка
существенности этого показателя дается
с помощью среднеквадратической ошибки:
,
где n
– это число наблюдений. Если
,
то асимметрия не существенна и обусловлена
влиянием случайных факторов, в противном
случае распределение признака в
совокупности не является асимметричным.
Для симметричных распределений рассчитывается эксцесс.
Эксцесс – это высоковершинность (островершинность) или низковершинность (плосковершинность) фактической кривой распределения по сравнению с нормальным распределением.
Высоковершинность (островершинность) означает положительный эксцесс и характеризует скопление частот в середине ряда.
Низковершинность (плосковершинность) означает отрицательный эксцесс и характеризует большую разбросанность членов ряда.
Эксцесс определяется по формуле с использованием центрального момента четвертого порядка:
.
где
- центральный момент четвертого порядка.
Оценка степени
существенности показателя дается с
помощью среднеквадратической ошибки
эксцесса
.
Если
,
то это свидетельствует о незначительном
эксцессе.
Для проверки соответствия фактического распределения нормальному производится сравнение частот фактического распределения с теоретическими частотами, которые характерны для нормального распределения. На основе этого строится теоретическая кривая.
Процесс нахождения функции кривой распределения принято называть аппроксимацией или выравниванием. Он заключается в следующем:
- подборе и теоретическом обосновании предельной теоретической кривой плотности распределения достаточно точно выражающей свойственную явлению закономерность;
- определение параметров фактической кривой распределения;
- оценка близости эмпирического и теоретического распределения при помощи математических критериев.
Рассмотрим аппроксимацию на основе функции нормального распределения выполнения норм выработки рабочими цеха:
№ цеха |
Группы рабочих по выполнению норм выработки, % |
Число рабочих |
Центры интервалов |
|
Значение плотности вероятности |
Теоретические частоты |
1 |
До 100 |
2 |
95 |
-2,03 |
0,0508 |
4 |
2 |
100 - 110 |
15 |
105 |
-1,30 |
0,1714 |
12 |
3 |
110 - 120 |
26 |
115 |
-0,58 |
0,3372 |
25 |
4 |
120 - 130 |
32 |
125 |
0,14 |
0,3951 |
29 |
5 |
130 - 140 |
12 |
135 |
0,87 |
0,2732 |
20 |
6 |
140 - 150 |
9 |
145 |
1,59 |
0,1127 |
8 |
7 |
150 - 160 |
4 |
155 |
2,32 |
0,0270 |
2 |
|
Итого |
100 |
|
|
|
100 |
Значение плотности
вероятности для нормального закона
распределения определяется по таблице
“плотность нормального закона
распределения” (Шмойлова, приложение
8).
Определение
теоретических частот производится на
основе следующего уравнения:
,
Где
- теоретические частоты;
-
величина интервала;
- сумма частот (объем совокупности);
.
Для того, чтобы
установить верно ли предположение о
том, что эмпирическое распределение
подчинено закону нормального распределения,
необходимо сравнить его с теоретическим
распределением. Чем ближе значение
к нулю, тем ближе фактическое распределение
к теоретическому.
Для оценки степени близости эмпирического распределения к теоретическому, используются критерии согласия.
Критерий согласия
Пирсона
(хи - квадрат):
где
- частоты эмпирического распределения;
- частоты теоретического распределения.
Если
,
то это означает, что эмпирическое
распределение соответствует нормальному.
определяется по специальным таблицам
в зависимости от принятой вероятности
P
и числа степеней свободы …
Лекция. Ряды динамики.
1 Понятие о статистических рядах динамики. Виды рядов динамики.
2 Сопоставимость уровней в рядах динамики.
3 Статистические показатели изменения уровней ряда динамики.
4 Средние показатели рядов динамики.
5 Выявление основной тенденции ряда динамики.
6 Изучение сезонных колебаний.
= 1 =
Одной из важнейших задач статистики является изучение процессов и явлений во времени. В статистике процесс развития, движения социально-экономических явлений во времени называют динамикой. Для отображения динамики строят ряды динамики (хронологические, временные, динамические).
Ряды динамики - это ряды изменяющихся во времени значений статистического показателя, расположенных в хронологическом порядке.
Каждый ряд динамики состоит из двух элементов: 1. уровня ряда, отображающих количественную оценку развития во времени изучаемого явления - у. 2. показателя времени t - периодов времени (день, месяц, год и т.п) или моментов времени (на дату).
Существуют различные виды рядов динамики. Они классифицируются по следующим признакам.
1. В зависимости от способа выражения уровней ряды динамики подразделяются на ряды абсолютных, относительных и средних величин.
Примером рядов динамики указанных выше видов являются данные таблицы 1
Таблица 1 - Денежные расходы населения Оренбургской области и их использование в 1998 году
Показатель |
Кварталы |
|||
I |
II |
III |
IV |
|
1. Денежные доходы населения, млн.руб. |
3862,6 |
3841,3 |
3880,5 |
5617,5 |
2.Использовано денежных доходов на покупку товаров и оплату услуг, % |
63,8 |
66,5 |
73,5 |
63,5 |
3. Начисленная (номинальная) средняя заработная плата одного работника, руб. |
792,4 |
821,3 |
845,4 |
884,1 |
В таблице 1 рядом динамики абсолютных величин являются данные первой строки, рядом относительных величин - второй строки; рядом средних величин - третьей строки.
2. В зависимости от того, как выражают уровни ряда состояние явления на определенные моменты времени (на начало месяца, года и т.п.) или его величину за определенные интервалы времени (за сутки, месяц, год и т.п.) различают соответственно моментные и интервальные ряды динамики.
Например, моментным является ряд динамики, показывающий число предприятий и организаций в Российской Федерации, представленный в таблице 2
Таблица 2 – Число предприятий и организаций в Российской Федерации, тыс. (на 1 января) в 1998 году
Год |
1998 |
1999 |
2000 |
2001 |
2002 |
2003 |
Число предприятий и организаций |
2727 |
2901 |
3106 |
3346 |
3594 |
3845 |
Примером интервального ряда динамики являются данные, приведенные в таблице 3.
Таблица 3 – Удельный вес убыточных организаций в общей совокупности организаций Российской Федерации за период 1998-2002 гг., %
Год |
1998 |
1999 |
2000 |
2001 |
2002 |
Удельный вес убыточных предприятий и организаций |
53,2 |
40,8 |
39,8 |
37,9 |
43,5 |
3. В зависимости от расстояния между уровнями ряды динамики подразделяются на ряды динамики с равноотстоящими и неравноотстоящими уровнями во времени. Ряды динамики следующих друг за другом периодов или следующих через определенные промежутки дат называются равноотстоящими. Примером такого ряда динамики, являются данные, приведенные в таблице 3.
Если же в рядах даются прерывающиеся периоды или неравномерные промежутки между датами, то ряды называются неравноотстоящими.
Примером этого ряда динамики, являются данные таблицы 4.
Таблица 4 - Производство тканей в РФ
|
Годы |
|||
1990 |
1995 |
1996 |
1997 |
|
Объем производства тканей, млн.м2 |
5656,0 |
1527,0 |
1300,0 |
1483,1 |