2 Статистические показатели вариации

Показатели вариации делятся на две группы: абсолютные и относительные.

Абсолютные показатели вариации:

1. Размах вариации:

.

Размах вариации показывает, насколько велико различие между единицами совокупности, имеющими самое маленькое и самое большое значение признака.

2) Среднее линейное отклонение – дает обобщающую характеристику степени колеблемости признака в совокупности:

(простая),

(взвешенная).

3) Дисперсия представляет собой средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от их средней величины:

(простая),

(взвешенная).

4) Среднее квадратическое отклонение – это обобщающая характеристика размеров вариации признака в совокупности. Среднее квадратическое отклонение выражается в тех же единицах измерения, что и признак.

(простая),

(взвешенная).

Между средним линейным и средним квадратическим отклонением существует следующее отношение: , если фактическое распределение близко к нормальному. По свойству мажорантности средних величин .

Относительные показатели вариации

Для целей сравнения колеблемости различных признаков в одной и той же совокупности или же при сравнении колеблемости одного и того же признака в нескольких совокупностях рассчитывают относительные показатели вариации.

1) Коэффициент осцилляции отражает относительную колеблемость крайних значений вокруг средней:

.

2. Линейный коэффициент вариации:

.

3. Коэффициент вариации:

.

Коэффициент вариации применяется для характеристики однородности совокупности. Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33% (для распределений близких к нормальному).

3 Дисперсия, ее виды и свойства

Наряду с изучением вариации признака по всей совокупности в целом часто бывает необходимо проследить количественные изменения признака по группам, на которые разделяется совокупность, а так же между группами. Различают следующие виды дисперсии:

1) Общая дисперсия изучает вариацию признака во всей совокупности под влиянием всех факторов, обусловивших эту вариацию:

.

2) Межгрупповая дисперсия характеризует колеблемость групповых средних около общей средней и отражает различия в величине изучаемого признака, возникающие под влиянием неучтенных факторов и независящую от признака – фактора, положенного в основание группировки:

,

где - средняя по i-ой группе,

- численность i-ой группы.

3) Внутригрупповая дисперсия отражает случайную вариацию, т.е. часть вариации, происходящую под влиянием неучтенных факторов и независящую от признака – фактора, положенного в основание группировки:

.

Средняя из внутригрупповых дисперсий .

Существует закон сложения дисперсий: .

В статистическом анализе широко используется эмпирический коэффициент детерминации:

.

Эмпирическое корреляционное отношение характеризует влияние признака, положенного в основание группировки, на вариацию результативного признака:

,

Эмпирическое корреляционное отношение находится в пределах . Если , то группировочный признак не оказывает влияние на результативный. Если , то результативный признак зависит от группировочного признака.

Свойства дисперсии:

1) Дисперсия постоянной величины равна нулю.

2) Уменьшение всех значений признака на одну и ту же величину А не меняет величины дисперсии:

.

3) Уменьшение всех значений признака в А раз уменьшает дисперсию в А² раз:

.

4) Если исчислить средний квадрат отклонений от любой величины А, которая в той или иной степени отличается от средней арифметической , то он всегда будет > среднего квадрата отклонений, исчисленного от средней арифметической:

.