2 Средняя арифметическая и ее свойства

Наиболее распространенным видом средних величин является средняя арифметическая. Она применяется тогда, когда объем осредняемого признака образуется как сумма его значений у отдельных единиц изучаемой статистической совокупности.

В зависимости от характера имеющихся данных средняя арифметическая может быть простой или взвешенной.

1) Cредняя арифметическая простая. Она применяется в тех случаях, когда каждое значение признака повторяется в совокупности один раз или когда данные не сгруппированы:

Пример 1. Вычислить средний стаж работы 10 сотрудников фирмы: 6, 5, 4, 3, 3, 4, 5, 4, 5, 4 лет, т. е. дан ряд одиночных значений признака, тогда

года.

2) Cредняя арифметическая взвешенная. Она применяется в тех случаях, если каждое значение признака повторяется несколько раз.

Пример 1а. Построим ряд распределения сотрудников фирмы по стажу работы:

Продолжительность стажа работы, лет ( )	Число сотрудников фирмы ( )	Доля сотрудников к общей численности, % ( )	Накопленные частоты ( )
1	2	3	4
3	2	20	2
4	4	40	6
5	3	30	-
6	1	10	-
Итого	10	100	-

Средний стаж работы равен года.

Если частота выражена в процентах, то средняя арифметическая взвешенная определяется следующим образом:

,

где называется частостью.

Пример 1б. Для данного примера средний стаж равен:

года.

Свойства средней арифметической

Средняя арифметическая обладает некоторыми математическими свойствами, которые более полно раскрывают ее сущность и в ряде случаев упрощают ее расчеты.

1) Произведение средней на сумму частот всегда равно сумме произведений вариант на частоты:

;

2) Если все варианты осредняемого признака уменьшить или увеличить на постоянное число А, то и средняя арифметическая соответственно уменьшиться или увеличиться на ту же величину А:

3) Если каждую варианту уменьшить или увеличить в А раз, то средняя арифметическая соответственно уменьшиться или увеличиться в А раз:

или

4) Если все веса уменьшить или увеличить в А раз, то средняя арифметическая от этого не измениться:

5) Сумма отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической равна нулю:

3 Другие виды средних

Помимо средней арифметической используются и другие виды средних величин, применение которых в каждом конкретном случае зависит от характера имеющихся данных.

Средняя гармоническая применяется в том случае, если известен числитель, но неизвестен знаменатель ИСС.

1) Средняя гармоническая простая применяется, если объемы явлений равны:

.

Пример 2. Имеются данные о продаже товара на двух рынках города.

Рынок	Цена за 1 кг, руб.	Сумма реализации, руб.
1	2	3
1	7,0	2000
2	8,0	2000

Средняя цена реализации товара руб.

2) Средняя гармоническая взвешенная применяется в тех случаях, когда в качестве весов применяются произведения единиц совокупности на значения признака: , тогда . Средняя гармоническая взвешенная имеет вид:

.

Пример 3. Имеются данные о продаже товара на двух рынках города.

Рынок	Цена за 1 кг, руб.	Сумма реализации, руб.
1	2	3
1	7,0	700
2	7,5	600
3	8,0	580

Средняя цена реализации товара руб.

Средняя геометрическая получила широкое применение в анализе динамики для определения среднего темпа роста:

(простая).

Наряду с рассматриваемыми средними величинами рассчитываются структурные средние – мода и медиана.

Мода – это варианта (значение признака), наиболее часто встречающаяся в ряду распределения.

Медиана – это варианта, которая делит ранжированный ряд распределения пополам.

а) Для дискретных вариационных рядов модой будет значение варианта с наибольшей частотой. Вычисление медианы в дискретных рядах распределения имеет специфику. Если такой ряд распределения имеет нечет­ное число членов, то медианой будет вариант, находящийся в середине ран­жированного ряда. Если ранжированный ряд распределения состоит из чет­ного числа членов, то медианой будет средняя арифметическая из двух зна­чений признака, расположенных в середине ряда.

Рассмотрим определение моды и медиана на примере 1а. М_о равна 4 годам стажа, М_е = 4 года.

б) В отличие от дискретных вариационных рядов определение моды и медианы по интервальным рядам осуществляется по следующим формулам:

Для интервальных вариационных рядов мода определяется по формуле:

,

где - нижняя граница модального интервала;

- величина модального интервала;

- частота модального интервала;

- частота интервала, предшествующего модальному;

- частота интервала, следующего за модальным.

Медиана интервального ряда распределения определяется по формуле:

,

где – нижняя граница значения интервала, содержащего медиану;

– величина медианного интервала;

- сумма частот;

– сумма накопленных частот, предшествующих медианному интер­валу;

– частота медианного интервала.

Пример. Распределение семей города по размеру среднедушевого дохода в январе 1998 года:

Группы семей по размеру дохода, руб.	Число семей	Накопленные частоты
1	2	3
До 500	600	600
500 – 600	700	1300
600 – 700	1700	3000
700 – 800	2500	5500
800 – 900	2200
900 – 1000	1500
Свыше 1000	800
Итого	10000

руб.

руб., т.е. половина семей города имеет среднедушевой доход менее 780 руб.

Если мода отражает наиболее распространенное значение признака, то медиана практически выполняет функции средней для неоднородной совокупности.

Пример. Допустим, нам необходимо дать характеристику среднего дохода группы людей из 100 человек, 99 из которых имеют доход в интервале от 100 до 200 долл. в месяц, а месячный доход последнего человека из группы составляет 50000 долл.

№ п/п	1	2	3	4	…	50	51	…	99	100
Доход, долл.	100	104	104	107	…	162	164	…	200	50000

Если мы воспользуемся формулой для средней арифметической, то получим средний доход, равный примерно 600-700 долл., который не только в несколько раз меньше дохода 100-го человека, но и имеет мало общего с доходами остальных членов группы. Медиана же, равная в данном случае 163 долл., позволит дать объективную характеристику уровня доходов 99% данной группы людей.

Тема №6 Изучение вариации статистических данных

1 Понятие вариации и ее значение

2 Статистические показатели вариации

3 Дисперсия, ее виды и свойства

1 Понятие вариации и ее значение

Различие значений признака у единиц совокупности называется вариацией признака.

Вариация возникает в результате того, что индивидуальные значения признака складываются под совокупным влиянием различных факторов, кото­рые по-разному сочетаются в каждом отдельном случае.

Пример: вариация оценок на экзамене в вузе порождается, в частности, различными способностями студентов, временем, затрачиваемым ими на самостоятельную работу, различием социально-бытовых условий и т.д. Именно вариация и предопределяет необходимость статистики. Если бы все сту­денты получали одинаковые оценки, то необходимость в статистическом ис­следовании отпала бы.

Вариация существует в пространстве и во времени. Под вариацией в про­странстве понимается колеблемость значений признака по отдельным территориям. Вариация во времени предполагает изменение значений признака в различные периоды или моменты времени.

Измерение вариации дает возможность оценить степень воздействия на данный признак других варьирующих признаков, а так же установить какие факторы и в какой мере влияют на изучаемые признаки.

По степени вариации можно судить об однородности совокупности, о типичности средней, об устойчивости индивидуальных значений признака, о взаимосвязях между признаками одного и того же явления и признаками разных явлений.

На основе показателей вариации разрабатываются другие статистические показатели – это показатели тесноты связи между явлениями и показатели точности выборочного наблюдения.

Общая теория статистики измеряет вариацию, опираясь на математическую статистику.