Коллективные решения

1. Парадокс Кондорсе

Одним из первых, кто заинтересовался системами голосования, был французский ученый маркиз де Кондорсе (1743-1794). Он сформулировал принцип (критерий), позволяющий определить победителя в демократических выборах. Принцип состоит в следующем. «Кандидат, который побеждает при сравнении один на один с любым из других кандидатов, является победителем на выборах». Система де Кондорсе такова: каждый из голосующих упорядочивает кандидатов по степени своего желания видеть каждого из них победителем. При этом справедливое определение победителя возможно путем попарного сравнения кандидатов по числу голосов, поданных за них. Однако вскоре обнаружился парадокс, получивший имя Кондорсе.

Пусть, например, голосование выставлено 3 кандидата: , и . Голоса шестидесяти голосовавших распределились следующим образом:

Число голосовавших	Предпочтения
23
17
2
10
8

Сравним предпочтения в парах кандидатов:

1) и ; из них предпочитают человек; – человек. Следовательно, по мнению большинства, .

2) и ; за – 33 человека, за – 27 .

3) и ; за – 42 человека, за – 18 .

Пришли к противоречию: .

2. Правило большинства голосов

Несколько изменим результаты голосования, чтобы избежать парадокса Кондорсе:

Число голосовавших	Предпочтения
23
19
16
2

Можно подсчитать, что при этих результатах по принципу Кондорсе был бы избран кандидат , который при попарном сравнении побеждает двух других кандидатов. Однако если мы используем принцип выбора на основе большинства голосующих, то победителем будет кандидат , но при этом он не набрал абсолютного большинства голосов.

3. Метод Борда

Согласно этому методу, результаты голосования выражаются в виде числа баллов, набранных каждым из кандидатов. Пусть число кандидатов равно . Тогда за первое место присуждается баллов, за второе – баллов и т. д. За последнее место присуждается 1 балл. Применим метод Борда к рассматриваемому случаю: подсчитаем число баллов кандидатов: . Таким образом, побеждает кандидат .

Однако при использовании данного подхода также возможны проблемы. Пусть результаты голосования представлены в следующей таблице:

Число голосовавших	Предпочтения
31
12
17

Подсчитав баллы по правилу Борда, находим: балла; балл; баллов. В соответствии с полученными результатами победителем следует объявить кандидата . Однако в данном случае явным победителем является кандидат , набравший абсолютное большинство голосов ( + 1 голос).

Приведенные примеры показывают, что парадоксы при голосовании не возникают лишь в случае, когда есть 2 кандидата и победитель определяется по принципу абсолютного большинства голосов. Однако такой случай нетипичен для большинства реальных ситуаций. Замечено, что парадоксы сохраняются и при введении двух туров выборов (при условии, что во второй тур выходят 2 кандидата, набравшие максимальное число голосов в первом туре). Рассмотрим первый пример (п. 1, парадокс Кондорсе). В соответствии с предпочтениями голосующих, во второй тур выходят (23 голоса) и (19 голосов), после чего побеждает . Однако при небольшом усилении первоначальной позиции предпочтения двух избирателей в третьей строке таблицы изменятся на , и во второй тур выходят (25 голосов) и (18 голосов), после чего побеждает .

Пусть имеется 2 коалиции: «черные» (8 человек) и «белые» (19 голосов). Возможна следующая многоступенчатая система голосования: