2.5.1. Пересечение поверхностей вращения с проецирующей прямой

На чертеже (рис. 143, а) прямой конус вращения пересекается с горизонтально-проецирующей прямой n .

Известно, что точка пересечения должна принадлежать обеим фигурам – прямой n и конусу.

А так как прямая n является горизонтально-проецирующей, то с горизонтальной n₁ проекцией прямой должна совпадать и горизонтальная А₁ проекция точки пересечения.

С другой стороны, точка пересечения принадлежит и поверхности вращения, поэтому через горизонтальную А₁ проекцию точки (рис. 143, б) можно провести окружность, представляющую собой горизонтальную проекцию параллели точки А. Тогда точка пересечения фронтальной проекции параллели с прямой n₂ (рис. 143, в) определит положение на чертеже искомой фронтальной А₂ проекции точки А.

Горизонтальная А₁ и фронтальная А₂ проекции определяют положения на чертеже проекций точки пересечения горизонтально-проецирующей прямой n с поверхностью прямого конуса вращения. Точка А является общей для прямой n и конуса, так как положения на чертеже её проекций удовлетворяют эпюрным признакам принадлежности точки прямой и поверхности вращения.

Действительно, проекции точки А располагаются на соответству-ющих проекциях параллели прямого конуса вращения и прямой.

На чертеже (рис. 144, а) сферическая поверхность пересекается с фронтально-проецирующей прямой l. Пересечение происходит в двух точках, например, точках А и В, расположенных симметрично относительно

Рис. 142

Рис. 143

главной меридиональной плоскости сферы.

Так как точки А и В принадлежат фронтально-проецирующей прямой, то их фронтальные А₂ и В₂ проекции совпадают с фронтальной l₂ проекцией прямой. С другой стороны, точки пересечения принадлежат и сферической поверхности, и поэтому через их фронтальные А₂ и В₂ проекции можно провести фронтальную проекцию параллели сферы.

Точки пересечения горизонтальной проекции параллели с прямой l₁ (рис. 144, в) определяют положения на чертеже горизонтальных А₁ и В₁ проекций точек пересечения фронтально-проецирующей прямой l со сферой. Таким образом, для построения на чертеже проекций точек пересечения поверхности вращения с проецирующей прямой вовсе не требуется применения каких-либо особых приёмов. Построения выполняют на основании использования эпюрных признаков принадлежности точек пересечения прямой и поверхности вращения.

2.5.2. Пересечение поверхностей вращения с прямой уровня

На чертеже (рис. 145, а) сферическая поверхность пересекается с фронтальной прямой f. В этом случае для определения положения на чертеже проекций точек пересечения необходимо воспользоваться способом вспомогательной секущей плоскости.

По расположению проекций f₁ и f₂ на чертеже следует, что прямую можно заключить либо во вспомогательную фронтально-проецирующую плоскость, либо во вспомогательную фронтальную плоскость, плоскость уровня. В обоих случаях кривая пересечения сферы плоскостью представляет собой окружность. Но фронтально-проецирующая плоскость наклонена к горизонтальной плоскости проекций, поэтому кривая пересечения – окружность спроецируется на горизонтальную плоскость проекций в искажённом виде и будет представлять собой эллипс. Построение же эллипса сопряжено со значительной трудоемкостью определения положений проекций его опорных и произвольных точек.

В случае использования в качестве вспомогательной фронтальной секущей плоскости, кривая пересечения – окружность спроецируется на фронтальную плоскость без искажения – в натуральную величину.

Диаметр окружности сечения равен отрезку горизонтального Λ₁ следа секущей плоскости, находящегося внутри проекций экватора сферы.

Построив фронтальную проекцию окружности сечения, отмечают на чертеже точки пересечения её с фронтальной f₁ проекцией прямой.

Горизонтальные проекции точек пересечения должны располагаться на горизонтальном Λ₁ следе вспомогательной секущей плоскости.

Точки А (А₁, А₂) и В (В₂, В₁) являются искомыми точками пересечения сферы с фронтальной прямой f, так как положения проекций этих точек на

Рис. 144

Рис. 145

чертеже полностью удовлетворяют эпюрным признакам принадлежности их обеим фигурам – сфере и прямой.

На чертеже (рис. 146, а) прямой конус вращения пересекается с горизонтальной прямой h. Если прямую заключить во вспомогательную горизонтальную плоскость  (тэта), то сечение ею прямого конуса вращения будет представлять собой окружность- параллель (рис. 146, б).

Пересечение горизонтальной проекции параллели с проекцией h₁ прямой выявит положение на чертеже (рис. 146, в) горизонтальных А₁ и В₁ проекций точек пересечения прямой h с конусом.

Фронтальные А₂ и В₂ проекции точек пересечения располагаются на фронтальном θ₂ следе вспомогательной секущей плоскости.

Точки А (А₁, А₂) и В (В₂,В₁) являются искомыми точками пересечения прямого конуса вращения с горизонтальной прямой h, так как положения проекций точек на чертеже полностью отвечают эпюрным признакам принадлежности обеим фигурам: прямому конусу вращения и прямой h.

На чертеже (рис. 147, а) прямой конус вращения пересекается с фронтальной прямой f. Использование в качестве вспомогательных секущих плоскостей частного положения: фронтально-проецирующей или плоскости уровня, не приносит желаемого результата (рис. 147, б). В сечении образуются графически сложные линии – эллипс или гипербола.

Аналогичный случай получения в сечении графически сложных линий имеет место и при использовании в качестве вспомогательных секущих плоскостей частного положения для построения проекций точек пересечения прямой общего положения (рис. 148, а) с поверхностью прямого конуса вращения.

Вместе с тем известно, что в случае пересечения конуса вращения с плоскостью, проходящей через его вершину, образуется графически простая фигура сечения – треугольник.

Рассмотрим особенности построения проекций точек пересечения прямой общего положения с поверхностью прямого конуса вращения в случае использования в качестве секущей плоскости общего положения, проходящей через его вершину.

Для этого (рис. 148, б) на прямой m выделяют положения фронтальных и горизонтальных проекций двух произвольных её точек, например, точки А (А₂, А₁) и В (В₂, В₁). Затем (рис. 148, в) на фронтальной плоскости проекций вершину конуса – точку S₂ соединяют прямыми с точками А₂ и В₂ и продолжают их до пересечения с осью проекций X в точках 1₂ и 2₂.

Далее строят горизонтальные проекции прямых S₁A₁ и S₁B₁ (рис. 148, г) и на продолжениях этих прямых с помощью линий связи определяют положения горизонтальных проекций точек 1₁ и 2₁.

Соединив затем (рис. 148, д) на горизонтальной плоскости проекций точки 1₂ и 2₂ прямой, получают на чертеже проекции треугольника S12

Рис. 146

Рис. 147

Рис. 148

(S₂1₂2₂ , S₁1₁2₁), представляющего собой плоскость общего положения. Прямая m оказалось заключённой, таким образом, во вспомогательную плоскость общего положения, проходящую через вершину S конуса. Причём прямая 1₁-2₁ представляет собой горизонтальный след секущей плоскости, который в точках 3₁ и 4₁ пересекается с проекцией основания конуса, расположенного непосредственно в горизонтальной плоскости проекций.

Соединив теперь точки 3₁ и 4₁ прямыми с точкой S₁, получают треугольник S₁3₁4₁, представляющий собой горизонтальную проекцию фигуры сечения прямого конуса вращения плоскостью, проходящей через его вершину.

На основании принадлежности прямой m вспомогательной секущей плоскости рассматривают взаимное расположение прямой m₁ и треугольника S₁3₁4₁. Выявляют точки С₁ и Д₁ их взаимного пересечения. С помощью линий связи определяют положения фронтальных С₂, Д₂ проекций точек, принадлежащих m.

Точки С и Д, определённые на чертеже положениями горизонтальных С₁, Д₁ и фронтальных С₂, Д₂ проекций, являются искомыми точками пересечения прямого конуса вращения с прямой общего положения.

Этот вывод сделан на том основании, что положения проекций точек С и Д на чертеже соответствуют эпюрным признакам принадлежности их обеим фигурам – прямому конусу вращения и прямой общего положения.

На чертеже (рис. 149, а) прямая l общего положения пересекается с поверхностью прямого цилиндра вращения. Точки пересечения должны располагаться на наружной цилиндрической поверхности, которая в свою очередь является проецирующей по отношению к горизонтальной плоскости проекций. Поэтому (рис. 149, б) в пересечении горизонтальных проекций прямой и цилиндра определяются положения горизонтальных 1₁ и 2₁ проекций точек пересечения прямой l с цилиндром.

Положения фронтальных 1₂ и 2₂ проекций точек пересечения (рис. 149, в) определены с помощью линий связи на проекции l₂ прямой общего положения.

Таким образом, расположение на чертеже проекций точек пересечения прямой общего положения с прямым цилиндром вращения установлено только лишь на основании эпюрных признаков принадлежности точек пересечения поверхности цилиндра и прямой.

На чертеже (рис. 150, а) сферическая поверхность пересекается с прямой n общего положения. Заключение прямой n в горизонтально- или фронтально-проецирующую плоскость неизбежно приведёт к необходимости построения искажённой проекции окружности сечения, представляющей собой эллипс. Однако прямую общего положения можно преобразовать (рис. 150, б) способом замены плоскостей проекций в прямую уровня.

Рис. 148

Рис. 149

Рис.150

Рис. 150

А тогда представится возможность заключить прямую в секущую плоскость уровня, и фигура сечения – окружность спроецируется на соответствующую плоскость проекций без искажения – в натуральную величину.

Для осуществления подобного плана построений проведена новая ось проекций П₁/П₄ параллельно горизонтальной n₁ проекции прямой и построена её новая n₄ проекция.

В новой системе плоскостей проекций прямая n, заданная на чертеже теперь уже проекциями n₁ и n₄, является прямой уровня. Если теперь прямую П заключить во вспомогательную горизонтально-проецирующую плоскость Т (тау), то относительно новой П₄ плоскости проекций секущая плоскость окажется плоскостью уровня. И тогда фигура сечения сферы этой плоскостью – окружность, спроецируется на плоскость проекций П₄ без искажений в натуральную величину.

Диаметр этой окружности равен отрезку прямой n₁ ограниченному экватором сферы.

В пересечении проекций прямой n₄ и окружности сечения (рис. 150, в) определяются проекции А₄ и В₄ точек пересечения прямой со сферой. Их горизонтальные А₁ и В₁ проекции располагаются на следе T₁ секущей, плоскости. Положение фронтальных A₂ и B₂ проекций точек определяется расположением их на фронтальной n₂ проекции прямой с помощью линий связи.

Таким образом, преобразованием прямой общего положения в прямую уровня была обеспечена возможность получения графически простой проекции фигуры сечения в случае использования способа вспомогательной секущей плоскости для определения положения на чертеже проекций точек пересечения сферы с прямой общего положения.

Рассмотренные примеры построения проекций точек пересечения поверхностей вращения с прямой убедительно свидетельствуют о том, что выбор вида и расположения на чертеже вспомогательной секущей плоскости определяется не только необходимостью получения графически простых фигур сечения – треугольников, окружностей, но и возможностью построения их проекций без искажения. Последнее условие непосредственно относится к тому случаю, когда в сечении поверхности вращения плоскостью образуется окружность.