3.3. Построение проекций линии взаимного пересечения поверхностей вращения способом вспомогательных секущих сфер. Общие положения

Основу способа вспомогательных секущих сфер (рис. 162) составляют особенности взаимного пересечения так называемых «соосных поверхностей вращения». К ним относятся поверхности, оси вращения которых совпадают, т. е. несколько поверхностей имеют одну общую ось вращения.

Нетрудно видеть, что две соосные поверхности вращения пересекаются друг с другом по окружностям. Причем количество последних равно числу точек пересечения меридианов поверхностей вращения.

Действительно, если одна поверхность образуется вращением меридиана l (l₂), а другая – меридиана D (D₂), представляющего в данном случае окружность, вокруг общей оси i (i₂), то точки А, В, С и К будут описывать окружности, общие для обеих поверхностей.

Рис. 162

При этом, если общая ось поверхностей вращения перпендикулярна какой-либо плоскости проекций, то эти окружности проецируются на одну из них в виде отрезков прямых, соединяющих точки пересечения меридианов и перпендикулярных оси вращения, а на другую – без искажения, в натуральную величину.

Эти особенности взаимного пересечения двух соосных поверхностей вращения, одна из которых является сферой, и составляют основу способа вспомогательных секущих сфер.

Сущность применения способа вспомогательных секущих сфер для построения линии взаимного пересечения двух произвольных поверхностей вращения состоит в том, что каждая из поверхностей вращения пересекается одной и той же вспомогательной сферой. При пересечении вспомогательной сферы с каждой из поверхностей вращения образуются окружности. Точки пересечения полученных окружностей являются общими для каждой из поверхностей вращения и поэтому принадлежат линии взаимного пересечения произвольных поверхностей вращения. При этом пересекающиеся поверхности вращения должны иметь общую плоскость симметрии, параллельную одной из плоскостей проекций. Каждая из поверхностей должна содержать семейство окружностей, по которым ее могут пересекать вспомогательные сферы, общие для обеих поверхностей.

В зависимости от расположения осей пересекающихся поверхностей вращения относительно друг друга применяются две разновидности способа вспомогательных секущих сфер.

При взаимном пересечении осей поверхностей вращения применяется способ концентрических секущих сфер, т. е. сфер, проведенных из одного общего центра. Центром проведения таких сфер является точка пересечения осей вращения поверхностей.

Если же оси поверхностей вращения параллельны друг другу или являются скрещивающимися, применяется способ эксцентрических сфер. В этом случае вспомогательные секущие сферы проводятся из разных центров. Рассмотрим особенности применения разновидностей способа вспомогательных секущих сфер для построения линии взаимного пересечения поверхностей вращения.

3.3.1. Построение проекций линии взаимного пересечения поверхностей вращения способом концентрических секущих сфер

На чертеже (рис. 163, а) пересекаются прямой (вертикальный) и наклонный (горизонтальный) конусы вращения. Требуется построить проекции линии взаимного пересечения поверхностей вращения.

Рассматривая положение проекций заданных геометрических фигур относительно друг друга и плоскостей проекций, устанавливаем, что

а

б

в

г

Рис. 163

поверхности вращения имеют общую плоскость симметрии, параллельную фронтальной плоскости проекций. В плоскости симметрии располагаются пересекающиеся в точке О (О₂, О₁) оси вращения поверхностей.

Таким образом, имеются все условия применения в данном случае способа концентрических секущих сфер для построения линии взаимного пересечения поверхностей вращения.

Построение проекций кривой взаимного пересечения поверхностей вращения начинают с определения положения на чертеже проекций опорных точек – экстремальных и точек видимости.

Из анализа расположения фигур на чертеже (рис. 163, б) следует, что их главные меридиональные плоскости совпадают, а поэтому точки 2₂ и 1₂ пересечения главных меридианов являются общими для обеих поверхностей и относятся к числу опорных точек кривой пересечения.

Горизонтальные 1₁ и 2₁ проекции точек располагаются на следе главной меридиональной плоскости, совпадающей с плоскостью симметрии фигур. При этом точка 1 (1₂, 1₁) является высшей, а точка 2 (2₂, 2₁) – низшей точками кривой пересечения поверхностей.

Обратите внимание на то, что горизонтальная 2₁ проекция точки 2 заключена в круглые скобки, т.е. является невидимой. Это обстоятельство свидетельствует о том, что не все точки кривой пересечения будут видимыми на горизонтальной плоскости проекций.

На видимость горизонтальных проекций точек кривой пересечения влияет расположение горизонтального конуса вращения (рис. 163, в).

Действительно, горизонтальная секущая плоскость ∑ (сигма), проведенная через ось вращения горизонтального конуса , делит его поверхность на две части: видимую и невидимую по отношению к горизонтальной плоскости проекций.

Построение (рис. 163, г) горизонтальных проекций фигур сечения заданных поверхностей вращения плоскостью ∑ (сигма) позволяет выявить на чертеже положение точек 3 (3₁, 3₂) и 4 (4₁, 4₂), являющихся точками видимости кривой пересечения. Справа от точек 3₁ и 4₁ горизонтальная проекция кривой пересечения будет видимой, а слева – невидимой. С другой стороны, точка 3 является самой близкой к наблюдателю, а точка 4 – самой дальней. Фронтальные 3₂ и 4₂ проекции точек совпадают, так как относительно главной меридиональной плоскости точки кривой пересечения располагаются симметрично.

Точки 1, 2, 3 и 4, определенные на чертеже положением своих горизонтальных и фронтальных проекций, являются опорными. Все остальные точки кривой пересечения относятся к числу произвольных; для определения положения их проекций на чертеже воспользуемся способом вспомогательных концентрических секущих сфер (рис. 164).

Рис. 164

Рис. 165

Центром проведения вспомогательных секущих сфер является точка 0₂ пересечения фронтальных проекций осей вращения поверхностей.

Напомним, что сущность применяемого способа состоит в том, что каждая из поверхностей вращения пересекается вспомогательной соосной сферой, в связи с чем возникает задача определения значений минимального и максимального радиусов сферы, пересекающейся с каждой из поверхностей вращения.

Для определения значений минимального радиуса секущей сферы на фронтальной плоскости проекций из центра О₂ опускают перпендикуляры, представляющие собой радиусы окружностей, вписанных в главные меридианы вертикального и горизонтального конусов.

В качестве минимального радиуса секущей сферы принимают наибольший из радиусов вписанных окружностей. Только в этом случае соблюдается условие пересечения одной сферой каждой из поверхностей вращения.

Действительно, сфера, проведенная радиусом, равным наибольшему радиусу вписанной окружности, будет касаться одной из поверхностей, а с другой – пересекаться.

Если же в качестве минимального радиуса принять наименьший радиус вписанной окружности, то одна из поверхностей вращения с такой сферой вообще не пересечется.

Максимальный радиус секущей сферы (рис. 165) равен расстоянию от центра сфер О₂ до наиболее удаленной точки 2₂ пересечения главных меридианов поверхностей.

Установив значения минимального и максимального радиусов секущих сфер, проводят (рис. 166) первую из них радиусом, равным, например, значению минимального радиуса R_min. Каждая из поверхностей вращения пересекается с соосной сферой по окружности. При заданном расположении фигур на чертеже фронтальные проекции окружностей пересечения представляют собой отрезки прямых: 15₂- ₂ – для вертикального конуса и 16₂- ₂ – для горизонтального конуса, соединяющие точки пересечения главных меридианов каждой из заданных поверхностей вращения со вспомогательной сферой.

Точка пересечения отрезков 15₂- ₂ и 16₂- ₂ представляет собой проекции 5₂ и 6₂, двух конкурирующих точек 5 и 6, принадлежащих одновременно сфере и каждой из заданных поверхностей вращения. Поэтому точки 5 и 6 относятся к числу первых двух произвольных точек кривой взаимного пересечения вертикального и горизонтального конусов вращения.

Подобным образом (рис. 167) определяют положение на чертеже некоторого количества фронтальных проекций произвольных точек кривой

Рис. 166

Рис. 167

Рис. 168

Рис. 169

пересечения, проводя концентрические секущие сферы из центра О₂ произвольными радиусами, меньшими максимального R_max и большими минимального R_min значений.

С помощью вспомогательных секущих сфер, проведенных радиусами R¹₂ и R²₂, выявлены положения четырех фронтальных 7₂ и 8₂, 9₂ и 10₂ проекций произвольных точек кривой пересечения.

Затем (рис. 168) приступают к построению на чертеже недостающих, а именно, горизонтальных проекций произвольных точек. Эти построения производятся на основании эпюрного признака принадлежности точек одной из поверхностей вращения.

С меньшей трудоемкостью выполняются графические построения недостающих проекций точек, если рассматривать их принадлежность поверхности вертикального конуса вращения.

Тогда на фронтальной плоскости проекций внутри контура главного меридиана вертикального конуса через точки 5₂, 6₂ и 7₂, 8₂ проводят прямые линии, перпендикулярные оси вращения i^B₂. Эти прямые линии представляют собой фронтальные проекции параллелей точек 5, 6 и 7, 8, принадлежащие поверхности вертикального конуса вращения.

Построив затем (рис. 169, а) горизонтальные проекции параллелей, с помощью линий связи определяют положение на них горизонтальных 5₁, 6₁, 7₁, 8₁ проекций точек.

Соединив теперь (рис. 169, б) плавной линией одноименные проекции точек с учетом их видимости на чертеже, получают фронтальную и горизонтальную проекции кривой взаимного пересечения вертикального и горизонтального конусов вращения.