5 Методика и порядок выполнения работы

5.1 Моделирование произвести на примере потребления электроэнергии жителями района за последние четыре года (таблица 3.1).

Таблица 3.1 – Потребления электроэнергии жителями района за последние четыре года

№ квартала, t	Потребление электроэнергии, уi (№ варианта)
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
1	6,0	4,8	5,1	5,4	6,3	6,6	6,9	7,2	7,5	4,5	4,8
2	4,4	3,5	3,7	4	4,6	4,8	5,1	5,3	5,5	3,3	3,5
3	5,0	4	4,3	4,5	5,3	5,5	5,8	6	6,3	3,8	4
4	9,0	7,2	7,7	8,1	9,5	9,9	10,4	10,8	11,3	6,8	7,2
5	7,2	5,8	6,1	6,5	7,6	7,9	8,3	8,6	9	5,4	5,8
6	4,8	3,8	4,1	4,3	5	5,3	5,5	5,8	6	3,6	3,8
7	6,0	4,8	5,1	5,4	6,3	6,6	6,9	7,2	7,5	4,5	4,8
8	10,0	8	8,5	9	10,5	11	11,5	12	12,5	7,5	8
9	8,0	6,4	6,8	7,2	8,4	8,8	9,2	9,6	10	6	6,4
10	5,6	4,5	4,8	5	5,9	6,2	6,4	6,7	7	4,2	4,5
11	6,4	5,1	5,4	5,8	6,7	7	7,4	7,7	8	4,8	5,1
12	11,0	8,8	9,4	9,9	11,6	12,1	12,7	13,2	13,8	8,3	8,8
13	9,0	7,2	7,7	8,1	9,5	9,9	10,4	10,8	11,3	6,8	7,2
14	6,6	5,3	5,6	5,9	6,9	7,3	7,6	7,9	8,3	5	5,3
15	7,0	5,6	6	6,3	7,4	7,7	8,1	8,4	8,8	5,3	5,6
16	10,8	8,6	9,2	9,7	11,3	11,9	12,4	13	13,5	8,1	8,6

5.2 В качестве наглядного примера рассмотрим вариант №1. Объемы потребления электроэнергии в осенне-зимний период времени (I и IV кварталы) выше, чем весной и летом (II и III кварталы). По графику этого ряда (рисунок 3.1) можно установить наличие приблизительно равной амплитуды колебаний.

Рисунок 3.1 – Потребление электроэнергии жителями района

Это свидетельствует о возможном существовании в ряде аддитивной модели. Рассчитаем ее компоненты.

5.3 Проведем выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней. Для этого:

a) просуммируем уровни ряда последовательно за каждые четыре квартала со сдвигом на один момент времени и определим условные годовые объемы потребления электроэнергии (гр. 3 таблицы 3.2);

б) разделив полученные суммы на 4, найдем скользящие средние (гр. 4 таблицы 3.2). Отметим, что полученные таким образом выровненные значения уже не содержат сезонной компоненты;

в) приведем эти значения в соответствие с фактическими моментами времени, для чего найдем средние значения из двух последовательных скользящих средних — центрированные скользящие средние (гр. 5 таблицы 3.2).

Таблица 3.2 – Расчет оценок сезонной компоненты в аддитивной модели

№ квартала, t	Потребление электроэнергии, Уi	Итого за четыре квартала	Скользящая средняя за четыре квартала	Центрирован-ная скользящая средняя	Оценка сезонной компоненты
1	2	3	4	5	6
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16	6,0 4,4 5,0 9,0 7,2 4,8 6,0 10,0 8,0 5,6 6,4 11,0 9,0 6,6 7,0 10,8	24,4 25,6 26,0 27,0 28.0 28,8 29,6 30,0 31,0 32,0 33,0 33,6 33,4	6,10 6,40 6,50 6,75 7,00 7,20 7,40 7,50 7,75 8,00 8,25 8,40 8,35	6,250 6,450 6,625 6,875 7,100 7,300 7,450 7,625 7,875 8.125 8.325 8,375	-1,250 2,550 0,575 -2,075 -1,100 2,700 0,550 -2,025 -1,475 2,875 0,675 -1,775

5.4 Найдем оценки сезонной компоненты как разность между фактическими уровнями ряда и центрированными скользящими средними (гр. 6 таблицы 3.2). Используем эти оценки для расчета значений сезонной компоненты S (таблица 3.3). Для этого найдем средние за каждый квартал (по всем годам) оценки сезонной компоненты S_t. В моделях с сезонной компонентой обычно предполагается, что сезонные воздействия за период взаимопогашаются. В аддитивной модели это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна нулю.

Для данной модели имеем:

0,6 - 1,958 - 1,275 + 2,708 = 0,075.

Определим корректирующий коэффициент:

к = 0,075 /4 = 0,01875.

Рассчитаем скорректированные значения сезонной компоненты как разность между ее средней оценкой и корректирующим коэффициентом к:

Si=Si - k

(3.2)

где i=1, 2, …4.

Таблица 3.3 – Расчет значений сезонной компоненты в аддитивной модели

Показатели	Год	№ квартала, i
		I	II	III	IV
	1	–	–	-1,250	2,550
	2	0,575	-2,075	-1,100	2,700
	3	0,550	-2,025	-1,475	2,875
	4	0,675	-1,775	–	–
Итого за i-й квартал (за все годы)		1,800	-5,875	-3,825	8,125
Средняя оценка сезонной компоненты для i-го квартала, Si		0,600	-1,958	-1,275	2,708
Скорректированная сезонная компонента, Si		0,581	-1,977	-1,294	2,690

Проверим условие равенства нулю суммы значений сезонной компоненты:

0,581 - 1,977 - 1,294 + 2,690 = 0.

Таким образом, получены следующие значения сезонной компоненты:

I квартал: S₁=0,581;

II квартал: S₂= -1,977;

III квартал: S₃ = -1,294;

IV квартал: S₄= 2,690.

Занесем полученные значения в таблицу 3.3 для соответствующих кварталов каждого года (стр. 3).

5.5 Элиминируем влияние сезонной компоненты, вычитая ее значение из каждого уровня исходного временного ряда. Получим величины Т + Е = Y- S (гр. 4 таблицы 3.4). Эти значения рассчитываются за каждый момент времени и содержат только тенденцию и случайную компоненту.

Таблица 3.4 – Расчет выравненных значений T и ошибок Е в аддитивной модели

t	уi	Si	Т+Е=уi-Si	Т	T+S	Е= =уi -(T+S)	Е2
1	2	3	4	5	6	7	8
1	6,0	0,581	5,419	5,902	6,483	-0,483	0,2333
2	4,4	-1,977	6,337	6,088	4,111	0,289	0,0835
3	5,0	-1,294	6,294	6,275	4,981	0,019	0,0004
4	9,0	2,690	6,310	6,461	9,151	-0,151	0,0228
5	7,2	0,581	6,619	6,648	7,229	-0,029	0,0008
6	4,8	-1,977	6,777	6,834	4,857	-0,057	0,0032
7	6,0	-1,294	7,294	7,020	5,727	0,273	0,0745
8	10,0	2,690	7,310	7,207	9,896	0,104	0,0108
9	8,0	0,581	7,419	7,393	7,974	0,026	0,0007
10	5,6	-1,977	7,577	7,580	5,603	-0,030	0,0009
11	6,4	-1,294	7,694	- 7,766	6,472	-0,072	0,0052
12	11,0	2,690	8,310	7,952	10,642	0,358	0,1282
13	9,0	0,581	8,419	8,139	8,720	0,280	0,0784
14	6,6	-1,977	8,577	8,325	6,348	0,252	0,0635
15	7,0	-1,294	8,294	8,519	7,218	-0,218	0,0475
16	10,8	2,690	8,110	8,698	11,388	-0,588	0,3457

5.6 Определим компоненту Т данной модели. Для этого проведем аналитическое выравнивание ряда (Т + Е) с помощью линейного тренда. Результаты аналитического выравнивания следующие:

Константа 5,715416

Коэффициент регрессии 0,186421

Стандартная ошибка коэффициента регрессии 0,015188

R-квадрат 0,914971

Число наблюдений 16

Число степеней свободы 14

Таким образом, имеем следующий линейный тренд: T=5,715 +0,186t.

Подставляя в это уравнение значения t – 1, ..., 16, найдем уровни Т для каждого момента времени (гр. 5 таблицы 3.4). График уравнения тренда приведен на рисунке 3.2.

Рисунок 3.2 – Потребление электроэнергии жителями района

5.7 Найдем значения уровней ряда, полученные по аддитивной модели. Для этого прибавим к уровням T значения сезонной компоненты для соответствующих кварталов. Графически значения (T+S) представлены на рисунке 2.2.

5.8 В соответствии с методикой построения аддитивной модели расчет ошибки производится по формуле:

E=Y-(T + S).

(3.3)

Это абсолютная ошибка. Численные значения абсолютных ошибок приведены в гр. 7 таблицы 3.4.

По аналогии с моделью регрессии для оценки качества построения модели или для выбора наилучшей модели можно применять сумму квадратов полученных абсолютных ошибок. Для данной аддитивной модели сумма квадратов абсолютных ошибок равна 1,10. По отношению к общей сумме квадратов отклонений уровней ряда от его среднего уровня, равной 71,59, эта величина составляет чуть более 1,5%: (1-1,10/71,59)·100 = 1,536.

Следовательно, можно сказать, что аддитивная модель объясняет 98,5% общей вариации уровней временного ряда потребления электроэнергии за последние 16 кварталов.

5.9 Прогнозирование по аддитивной модели.

Предположим, требуется дать прогноз потребления электроэнергии жителями района в течение первого полугодия ближайшего следующего года.

Прогнозное значение F_t уровня временного ряда в аддитивной модели в соответствии с соотношением (3.1) есть сумма трендовой и сезонной компонент.

Объем электроэнергии, потребленной в течение первого полугодия ближайшего следующего, т. е. пятого, года, рассчитывается как сумма объемов потребления электроэнергии в I и во II кварталах пятого года, соответственно F₁₇ и F₁₈. Для определения трендовой компоненты воспользуемся уравнением тренда: T=5,715 + 0,186·t.

Получим:

Т₁₇ = 5,715+ 0,186-17 = 8,877;

Т₁₈ = 5,715+ 0,186-18 = 9,063.

Значения сезонной компоненты равны: S₁ = 0,581 (I квартал); S₂ = -1,977 (II квартал). Таким образом,

Т₁₇ = Т₁₇+ S₁ = 8,877 + 0,581 = 9,458;

Т₁₈ = Т₁₈ +S₂ = 9,063 - 1,977 = 7,086.

Прогноз объема потребления электроэнергии на первое полугодие ближайшего следующего (пятого) года составит:

(9,458 + 7,086) = 16,544 млн кВт • ч.