Практическое занятие 3, 4

Определение числовых характеристик распределения. построение эмпирических и теоретических функций распределения

1. Теоретическая часть

Значительно упростить и ускорить вычисления можно путем использования преобразования результатов наблюдений (совокупности значений t_i ) в статистический ряд. С этой целью весь диапазон наблюдаемых значений Т делят на m интервалов или «разрядов» и подсчитывают число значений m_i, приходящихся на каждый i-й разряд. Для этого сначала выявляется наименьшее t_min и наибольшее t_max значение элементов выборки. Зона рассеивания определяется как разность между этими значениями. Вычисленная зона рассеивания делится на равное количество интервалов, которое в зависимости от объема выборки берется как целое число, ближайшее к значению r.

По формуле Стьюдента определяем количество:

(1)

и ширину интервалов для построения гистограммы:

, (2)

где − наибольшее и наименьшее значение в массиве данных;

N – количество значений в массиве.

Для примера в таблице 1 указаны результаты систематизации в виде статистического ряда 100 значений случайной величины, распределенной на интервале [8,5·10³ч; 20,5·10³ч] при условии, что Т = 3·10³ч, r = 4.

Заполнять таблицу несложно. Последовательно просматривая массив значений {t_i}, оценивают, к какому разряду относится каждое число. Факт принадлежности числа к определенному разряду отмечают чертой в соответствующей строке таблицы. Затем подсчитывают n₁, …, n_i,…, n_m − число попаданий значений случайной величины (число черточек) соответственно в

1-й, …, i-й,…, m-й разряд. Правильность подсчетов определяют, используя следующее равенство:

. (3)

Таблица 1 – Результаты расчетов числа попаданий в каждый интервал и статистической вероятности отказа

Нижняя и верхняя границы интервалов, 103 ч	Число попаданий на интервал	ni	Статистическая вероятность
8,5  11,5	///// ///// /////	n1 =15	q1 = 0,15
11,5  14,5	///// ///// ///// ///// ///// ///// /////	n2 =35	q2 = 0,35
14,5  17,5	///// ///// ///// ///// ///// /////	n3 =30	q3 = 0,30
17,5  20,5	///// ///// ///// /////	n4 =20	q4 = 0,20

Статистический ряд можно отразить графически в виде гистограммы, как показано на рисунке 1.

Рисунок 1 – Гистограмма распределения случайных величин

С этой целью по оси абсцисс отложите границы интервалов, и на каждой границе постройте прямоугольник, высота которого равна статистической вероятности попадания случайной величины в данный интервал. Здесь T₁, …, T_i, …, T_m соответственно верхние границы 1‑го, …, i-го, …, m-го интервалов.

Статистическая вероятность q_i попадания случайной величины на

i-й интервал рассчитывается как:

. (4)

Подсчитайте значения q_i для всех интервалов и проверьте правильность расчетов, используя выражение:

=1. (5)

Для вычислений среднего значения случайной величины Т непосредственно по ее выборочным значениям t₁, t₂, …, t_i, …, t_N используют формулу:

. (6)

Можно для расчета среднего значения случайной величины в качестве «представителя» всех ее значений, принадлежащих i-му интервалу, принимать его середину . Тогда средняя наработка до отказа определяется как:

(7)

Расчет с использованием формулы (7) вносит некоторую методическую ошибку. Однако ее значение обычно пренебрежимо мало. Эту ошибку в Ваших расчетах оцените по формуле:

100 %, (8)

где и  средние значения, вычисленные соответственно с использованием формул (6) и (7).

В работе выдвинута гипотеза о том, что приведенные наработки на отказ элементов автомобилей, описываются нормальным законом распределения.

Числовыми характеристиками (параметрами) случайной величины называются характеристики наиболее существенных особенностей закона распределения. Параметры характеризуют центр распределения, масштаб и форму кривой распределения.

Наиболее часто используемыми характеристиками случайной величины, используемыми в теории надежности, являются:

• математическое ожидание (среднее значение) ;

• дисперсия D или среднее квадратическое отклонение ;

• коэффициент вариации V(t);

• медиана М_е и мода М_о.

Дисперсия, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации показывают, насколько тесно сгруппированы возможные значения случайной величины около ее математического ожидания, т. е. характеризуют степень разброса или рассеивания.

Дисперсия непрерывной случайной величины находится по формуле:

. (9)

Среднее квадратическое отклонение:

. (10)

В относительных единицах рассеивание выражается коэффициентом вариации:

. (11)

По значению коэффициента вариации можно сделать предварительные выводы о законе распределения случайных величин. Если значение

V(t)  0,3, можно выдвинуть гипотезу о том, что рассматриваемые наработки на отказ описываются нормальным законом распределения.

Функция распределения

Во многих практических задачах надежности вместо вероятности того, что случайная величина Т принимает вполне определенное значение t, достаточно знать вероятность того, что случайная величина T меньше или равна t. Эта вероятность задается интегральной функцией распределения:

.

Функция распределения F(t) представлена на рисунке 2. При построении и ее исследовании необходимо учитывать следующие ее свойства:

1. Вероятность того, что значение случайной величины Т заключенной в интервале t и t+t равна разности функции распределения, вычисленных в точках t и t+t,

(12)

2. F(t) всегда неотрицательная функция F(t)0 для всех t.

3. Вероятность не может принимать значения больше 1, поэтому

.

4. Функция распределения F(t) − неубывающая функция, т. е. при t+t>t

.

1. При t=- функция распределения равна 0, а при t= функция распределения равна 1.

F(t)

1,0

0,8

0,6

F(t+∆t)-F(t)=

0,4 P(t<T<t+∆t)=

= ∆ F(t)

0,2

0 t t + ∆t t

Рисунок 2  Вид функции распределения

Функция плотности распределения

Наглядное представление о характере распределения непрерывной случайной величины в окрестностях различных точек дает особая функция, называемая плотностью распределения вероятности, или плотностью распределения f(t) (рисунок 3).

Предел отношения вероятности попадания непрерывной случайной величины на элементарный участок от t до t +  t к его длине t, стремящейся к нулю, называется плотностью распределения случайной величины Т в точке t:

, (13)

т. е.

.

Следовательно, плотность распределения равна производной от функции распределения непрерывной случайной величины.

f(t)

Рисунок 3  Функция плотности распределения

Плотность распределения, как и функция распределения,  одна из форм задания закона распределения. Она обладает следующими основными свойствами:

1. Плотность распределения  функция неотрицательная:

для всех t.

2. Функция распределения непрерывной случайной величины равна интегралу от плотности распределения на участке от - до t:

. (14)

3. Вероятность того, что случайная величина Т попадает в интервал между t и t+t, равна относительной площади под кривой f(t) между точками t и t+t, т. е.:

. (15)

4. Интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения равен единице:

т. е. площадь, ограниченная кривой плотности распределения и осью абсцисс, равна единице.

4. Плотность распределения вероятности имеет размерность обратную размерности случайной величины:

[f(t)]=1/[t].

Заданные в курсовой работе данные по наработке элемента автомобиля являются результатом наблюдений и сбора статистических данных. Поэтому первоначально определяем эмпирические значения интегральной функции и функции плотности распределения.

Эмпирическое значение интегральной функции распределения:

. (16)

Функция плотности распределения:

. (17)

Полученные для каждого интервала значения этих функций сводятся в таблицу 2.

Таблица 2  Значения эмпирических значений функций F_э(t) и f_э(t)

Наименование показателей	Номер интервала
	1	2	3	……	……..	r
Границы интервала
Середина интервала
Fэ(t)
fэ(t)

После заполнения таблицы построить графики функций F_э(t) и f_э(t).

На графиках необходимо отметить значения моды и медианы.

Медиана и мода случайной величины

Центр распределения непрерывных случайных величин, плотности распределения которых не являются симметричными, удобно характеризовать медианой.

Медиана случайной величины Т есть такое ее значение, которое делит площадь под кривой плотности распределения пополам.

.

f(t)

t

Рисунок 4  Изображение моды и медианы на графиках

Следовательно, относительно медианы равновероятно получение большего или меньшего значения случайной величины.

Модой М₀ непрерывной случайной величины Т является такое ее значение, которому соответствует наибольшее значение плотности распределения, т. е. f(M₀)=max.

Для определения теоретических значений интегральной и дифференциальной функций распределения наработок на отказ необходимо учитывать ряд особенностей нормального закона распределения.

Чаще всего, он проявляется тогда, когда случайная величина Т является результатом действия достаточно большого числа различных факторов, но все они оказывают относительно малое влияние. Нормальный закон распределения используется для описания постепенных изменений технических параметров агрегатов и систем машин, когда доля внезапных отказов мала. Этот закон распределения характерен для постепенных (износовых) отказов.

Для этого закона плотность распределения вероятности имеет вид:

, (18)

где ,   параметры нормального распределения.

Нормальное распределение обладает рядом свойств:

• кривая распределения симметрична относительно точки t= , через которую проходит ордината;

• кривая распределения достигает максимальной величины равной при t= ;

• ветви кривой при t-> асимптотически приближаются к оси абсцисс;

• при уменьшении  кривая распределения вытягивается вверх, сжимаясь с боков, а при увеличении  кривая распределения вытягивается вдоль оси абсцисс;

• в интервале от - до  заключено приблизительно 68,3 % всей площади под кривой, от -2 до +2 − 95,5 % и от -3 до +3 − 99,7 %.

Отсюда видно, что рассеивание случайной величины с незначительной погрешностью укладывается на интервале 3.

Для упрощения вычислений введем величину . Такая замена называется нормированием:

. (19)

Знак аргумента не имеет значения f₀(-x)=f₀(x),

. (20)

Табулированные значения функции f₀(x) представлены в таблице А.1 приложения.

Вероятность безотказной работы до первого отказа вычисляется с помощью уравнения:

, (21)

где Ф  функция Лапласа, обладающая свойствами . Табулированные значения функции Лапласа представлены в таблице А.2 приложения.

Вероятность восстановления определяется по формуле :

. (22)

Интенсивность отказов или восстановления:

. (23)

Для облегчения расчетов и проверки результатов, полученные данные сводятся в таблицу 3.

Таблица 3  Последовательность вычислений при проверке принадлежности данных нормальному закону

i		ni	ni		( )2	( )2ni	xi	f(t)i	F(t)i
1
2
……
r
						

После заполнения таблицы построить графики функций F(t), P(t) и (t).

Проверка гипотезы о принадлежности опытных данных к

выбранному закону распределения случайных величин

При аппроксимации эмпирических данных возможны случаи, когда одни и те же данные могут быть одинаково успешно описаны несколькими распределениями. Поэтому необходима проверка согласия между распределением случайной величины, полученной по результатам наблюдений с предполагаемым теоретическим распределением этой величины. Всегда предпочтительнее выбирать то распределение, которое дает наибольшую вероятность согласия.

Решение этой задачи основано на использовании фундаментального положения математической статистики, согласно которому эмпирическая функция распределения сходится по вероятности к теоретической при неограниченном увеличении размера выборки, если выборка принадлежит рассматриваемому теоретическому распределению.

Проводим проверку принадлежности массива опытных данных к выбранному закону распределения по критериям согласия Колмогорова, Пирсона и Романовского.

Определение согласия данных по критерию Колмогорова

Максимальное отклонение функции эмпирического распределения от функции теоретического обозначается D_n:

. (24)

Для нахождения максимального отклонения расчеты необходимо представить в виде таблицы:

Таблица 4  Последовательность расчета максимального отклонения

	Fэ(ti)	F(ti)	Fэ(ti) - F(ti)
……….

Вычисляется величина:

. (25)

Задаемся доверительной вероятностью:

, (26)

что отклонение F_э(t_i) от F(t_i) будет меньше табличной величины (таблица А.3 приложения), установленной для доверительной вероятности . Если уравнение (26) переписать в виде:

(27)

и вычисленная вероятность 1- получается незначительной (меньше 0,1), то отклонение эмпирической функции распределения от теоретической неслучайно. Иначе говоря, F_э(t_i) плохо согласуется с F(t_i). Если же разность 1- велика (больше 0,3−0,4), то расхождение между F_э(t_i) и F(t_i) считается несущественным и гипотеза о функции распределения считается согласованной с экспериментальными данными.

Определение согласия данных по критерию Пирсона ²

Широкое применение критерия ² обосновывается легкостью его использования для проверки согласия любого распределения.

Первоначально определяется вероятность попадания значений случайной величины в каждый интервал:

. (28)

Находим теоретическую частоту попадания случайной величины в каждый интервал:

. (29)

Находим значения критерия согласия Пирона для каждого интервала:

. (30)

Значение критерия согласия Пирсона для всей выборки:

² = ( ) . (31)

Чем меньше полученное значение ² , тем лучше согласие между эмпирическим и теоретическим распределением.

Определяем число степеней свободы:

L= k – r – 1 , (32)

где r – число параметров теоретической функции распределения, для нормального закона r = 2;

k  число интервалов.

После вычисления ² задаемся доверительной вероятностью  (=0,2…0,3) того, что величина ², полученная в результате случайных отклонений частот эмпирического распределения от соответствующих частот теоретического распределения будет меньше табличного значения (^2*), установленного для выбранной доверительной вероятности .

Если вычисленное значение ² будет меньше (^2*), то для принятой доверительной вероятности  гипотеза о согласии эмпирического и теоретического распределения не отвергается, в противном случае ее необходимо проверять дальше. Если вычисленное значение ² > (^2*) необходимо сравнить фактические частоты попадания в интервалы с ожидаемыми, чтобы увидеть, какие интервалы оказывают наибольшее влияние на величину ². Это сравнение наглядно показывает характер отклонения от принятой теоретической модели.

Проверка по критерию согласия Романовского

Для проверки используется критерий:

. (33)

В случаях, когда вычисленная величина по своему абсолютному значению меньше 3, отклонение между эмпирическим и теоретическим распределениями считается несущественным, а выбранная модель закона распределения отражает эмпирические данные. Там, где полученное значение отклонения больше 3, расхождение между распределениями считается существенным, а модель теоретического распределения не отражает эмпирические данные.