6 Содержание отчета и его форма

Отчет должен содержать:

6.1 Выровненный исходный ряд методом скользящей средней.

6.2 Расчет значений сезонной компоненты.

6.3 Выравненные данные (Т + Е) модели.

6.4 Расчет значений Т.

6.5 График потребления электроэнергии жителями района (фактические, выровненные и полученные по аддитивной модели значения уровней ряда).

6.6 Расчет ошибок.

6.7 Прогноз ожидаемой прибыли компании за первое полугодие ближайшего следующего года.

6.8 Выводы.

7 Контрольные вопросы и защита работы

7.1 Сформулируйте общий вид мультипликативной модели временного ряда.

7.2 Как производится расчет абсолютных ошибок?

7.3 Перечислить этапы построения мультипликативной модели.

7.4 С какими целями проводятся выявление и устранение сезонного эффекта?

7.5 Как осуществляется прогноз по данной модели?

Защита работы проводится в устной форме, состоит в предоставлении студентом правильно выполненного отчета по работе, коротком докладе и в ответах на вопросы, представленные выше.

Практическое занятие 29.

Метод экспоненциального сглаживания

1 Цель и содержание

Цель работы – приобрести навыки прогнозирования при помощи метода экспоненциального сглаживания.

В результате выполнения работы студенты должны:

1. Выбрать аппроксимирующую функцию.

2. Определить параметры уравнения.

3. Определить расчетные значения тренда.

4. Определить параметр сглаживания.

5. Определить окончательную модель прогноза.

2 Теоретическое обоснование

Метод экспоненциального сглаживания является одним из наиболее эффективных, надежных и широко применяемых методов прогнозирования. Он позволяет получить оценку параметров тренда, характеризующих не средний уровень процесса, а тенденцию, сложившуюся к моменту последнего наблюдения, и при этом отличается простотой вычислительных операций.

Сущность метода заключается в сглаживании исходного динамического ряда взвешенной скользящей средней, веса которой ( ) подчиняются экспоненциальному закону (рисунок 5.1).

Пусть исходный динамический ряд описывается полиномом вида:

(5.1)

где – коэффициенты;

– порядок полинома;

– случайная ошибка.

Рисунок 5.1 – Коэффициент экспоненциального сглаживания

Метод экспоненциального сглаживания позволяет построить такое описание процесса (5.1), при котором более поздним наблюдениям придаются большие веса по сравнению с ранними наблюдениями, причем веса наблюдений убывают по экспоненте.

Выражение

(5.2)

называется экспоненциальной средней -го порядка для ряда , где – параметр сглаживания.

В расчетах экспоненциальную среднюю определяют, пользуясь рекуррентной формулой, полученной Брауном:

.

(5.3)

Использование соотношения (5.3) предполагает задание начальных условий , которые могут быть определены по формуле Брауна-Мейера:

(5.4)

где ;

– оценки коэффициентов.

Оценки коэффициентов прогнозирующего полинома определяют через экспоненциальные средние по фундаментальной теореме Брауна-Мейера. В этом случае коэффициенты находят решением системы ( ) уравнений с ( ) неизвестными, связывающей параметры полинома с исходной информацией.

Рассмотрим применение метода экспоненциального сглаживания для двух наиболее употребительных случаев, когда тренд описывается линейной функцией и параболой.

Линейная модель Брауна

.

(5.5)

Начальные приближения для случая линейного тренда равны (по формуле (5.4)):

,	(5.6)
.	(5.7)

Зная начальные условия и и значение параметра , вычисляют экспоненциальные средние 1-го и 2-го порядка:

,	(5.8)
.	(5.9)

Оценки коэффициентов линейного тренда

,	(5.10)
.	(5.11)

Прогноз на шагов (на время ) равен .

Ошибка прогноза:

.

(5.12)

Для метода экспоненциального сглаживания основным и наиболее трудным моментом является выбор параметра сглаживания , начальных условий и степени прогнозирующего полинома.

Параметр сглаживания определяет оценки коэффициентов модели, а следовательно, результаты прогноза.

В зависимости от величины параметра прогнозные оценки по-разному учитывают влияние исходного ряда наблюдений: чем больше , тем больше вклад последних наблюдений в формирование тренда, а влияние начальных условий убывает быстро. При малом прогнозные оценки учитывают все наблюдения, при этом уменьшение влияния более ранней информации происходит медленно.

Для приближенной оценки известны два основных соотношения:

1) соотношение Брауна, выведенное из условия равенства скользящей и экспоненциальной средней:

,

(5.13)

где – число точек ряда, для которых динамика ряда считается однородной и устойчивой (число точек в интервале сглаживания);

Иногда , где – число наблюдений (точек) в ретроспективном динамическом ряду;

2) соотношение Мейера:

,

(5.14)

где – среднеквадратическая ошибка модели;

– среднеквадратическая ошибка исходного ряда.

Однако достоверно определить и из исходной информации очень сложно, поэтому использование соотношения (5.14) затруднено.

Очевидно, что выбор параметра нужно связывать с точностью прогноза, поэтому для более обоснованного выбора можно использовать процедуру обобщенного сглаживания. В этом случае получаются следующие соотношения, связывающие дисперсию прогноза и параметр сглаживания :

для линейной модели

,

(5.15)

где ;

– период прогноза;

– среднеквадратическая ошибка аппроксимации исходного динамического ряда.

При =0 выражения, стоящие в правой части формулы (5.15) обращаются в нуль, следовательно, для уменьшения ошибки прогноза необходимо выбирать минимальное .

В то же время, чем меньше , тем ниже точность определения начальных условий, а следовательно, ухудшается и качество прогноза.

Таким образом, использование формулы (5.15) приводит к противоречию при определении параметра сглаживания. В ряде случаев параметр выбирают так, чтобы минимизировать ошибку прогноза, рассчитанного по ретроспективной информации.

Качество прогноза во многом зависит от выбора порядка прогнозирующего полинома. Известно, что превышение второго порядка модели не приводит к существенному увеличению точности прогноза, но значительно усложняет расчет.