9.4 Пересечение поверхностей вращения прямой линией
В общем случае план построения точек пересечения прямой (рисунок 44) с кривой поверхностью выглядит следующим образом:
1) Заключаем прямую l в плоскость Т (в данном случае во фронтально-проецирующую).
2) Строим фигуру сечения (в случае с тором это эллипс), по которой плоскость Т пересекает заданную поверхность. Способ построения горизонтальной проекции эллипса показан на рисунке.
3) Точки М и N пересечения прямой l с эллипсом и есть искомые точки пересечения прямой с тором.
4) Определяем видимость отрезков прямой.
Рисунок 44
Примечание – Существует ряд частных способов нахождения точек пересечения прямых с поверхностями вращения (цилиндром, конусом, сферой). Они также могут быть использованы при решении задач
9.5 Пересечение поверхностей. Применение в качестве поверхностей-посредников плоскостей частного положения
Линия пересечения поверхностей есть множество точек принадлежащих одновременно обоим поверхностям. В общем случае, чтобы построить какую-либо точку этой линии, рассекают обе поверхности третьей вспомогательной поверхностью-посредником. Затем строят линии, по которым данные поверхности пересекаются с посредником.
На рисунке 45 представлены две сферы, которые пересекаются. Для нахождения их общих точек 1 и 2 (точек линии пересечения) эти обе поверхности рассекаются третьей поверхностью-посредником плоскостью Р. Плоскость-посредник Р обе поверхности рассекает по окружностям, которые, пересекаясь, дают общие точки 1 и 2. Применив несколько плоскостей типа Р, получим ряд точек линии пересечения сфер.
Рисунок 45
Посредники следует выбирать таким образом, чтобы заданные поверхности пересекались ими по простейшим линиям: окружностям или прямым. В качестве поверхностей – посредников чаще всего применяют плоскости частного положения и сферы.
Алгоритм решения задач на пересечение поверхностей выглядит следующим образом.
1) Определяем тип пересекаемых поверхностей, их расположение относительно плоскостей проекций. В результате находим, где должны быть расположены характерные точки линии пересечения. Очень часто задачи даются таким образом, что одна проекция линии пересечения уже присутствует на чертеже. Анализ чертежа позволяет ее увидеть.
2) Если возможно, предусматриваем вид линии пересечения.
3) Выбираем поверхности-посредники, с помощью которых будет находиться линия пересечения.
4) Отмечаем уже существующие характерные точки, выявленные из анализа чертежа, строим характерные точки, которые не просматриваются.
5) Находим ряд промежуточных точек.
6) Соединяем полученные точки с учетом видимости линии.
Покажем применение этого плана на конкретной задаче.
На рисунке 46 представлены две поверхности, которые пересекаются. Требуется построить их линию пересечения. Из анализа чертежа видно, что пересекаются цилиндр и конус. Цилиндр расположен перпендикулярно П2 и его фронтальная проекция есть окружность, которая совпадает с фронтальной проекцией линии пересечения. Поэтому линию пересечения поверхностей следует строить только на горизонтальной плоскости проекций. Далее устанавливаем количество и место расположения характерных точек линии пересечения. Это точки 1 и 6 – точки, по которым пересекаются образующие цилиндра и конуса на П2. И только проделав такой анализ, выбираем поверхности – посредники для нахождения точек линии пересечения. Наиболее целесообразными посредниками, в данном случае, являются фронтальные плоскости уровня типа П, Н, Г, Р. Такие плоскости рассекают конус по окружности, а цилиндр по прямым. В пересечении этих линий и находятся искомые точки 2 и 3, 4 и 5. Соединяем полученные точки между собой с учетом видимости.
Рисунок 46