5 Взаимное положение прямых и плоскостей

Необходимо определять и строить на эпюре прямую параллельную плоскости и прямую, пересекающуюся с плоскостью, две параллельные плоскости и две пересекающиеся плоскости, прямые перпендикулярные плоскостям и перпендикулярные плоскости.

5.1 Прямая параллельная плоскости

Прямая параллельна плоскости, если она параллельна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Применительно к эпюру это определение, формулируется следующим образом: Если прямая l параллельна плоскости, то ее проекции l₁ и l₂ (рисунок 25) должны быть параллельны соответствующим проекциям любой прямой в плоскости, например DE, т.е. l₁ D₁ E₁ , l₂ ‖ D₂ E₂..

5.2 Параллельность двух плоскостей

Две плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости. На эпюре должны быть параллельны их соответствующие проекции.

Пример – Через точку D провести плоскость Р параллельную плоскости ∆АВС (рисунок 26).

Искомую плоскость можно задать любым способом: треугольником, двумя параллельными прямыми, двумя пересекающимися прямыми и т.д. В данном случае удобнее всего ее задать двумя пересекающимися прямыми m и n, которые проводятся параллельно любым двум пересекающимся прямым плоскости ∆АВС, например, параллельно сторонам АВ и ВС.

Рисунок 25

Рисунок 26

5.3 Пересечение двух плоскостей

Если две плоскости не параллельны – они пересекаются. Линия их пересечения, как и любая прямая, определяется двумя точками. Поэтому, чтобы ее построить, достаточно найти две любые ее точки. Это можно сделать следующими способами:

1) С использованием двух вспомогательных плоскостей частного положения – уровня проецирующих.

2) По точкам пересечения двух прямых с плоскостью.

Рассмотрим ниже один из методов (второй) построения линии пересечения двух плоскостей в данном курсе дисциплины.

5.4 Пересечение прямой с плоскостью

В общем случае для нахождения точки пересечения прямой с плоскостью используются проецирующие плоскости.

На рисунке 27 представлены плоскость ∆АВС и прямая n (в пространстве и на эпюре).

Рисунок 27

Для нахождения точки пересечения прямой с плоскостью применяют следующий алгоритм:

1) Заключаем прямую n в проецирующую плоскость. В данном случае выбрана фронтально – проецирующая плоскость H. Ее фронтальная проекция H₂ – линия наклоненная к оси ох. Она совпадает с фронтальной проекцией n₂ прямой n.

2) Находим линию пересечения 1-2 плоскости ∆АВС и плоскости H. Ее фронтальная проекция 1₂-2₂ также совпадает с фронтальным следом H₂ плоскости H. Строим ее горизонтальную проекцию 1₁-2₁.

3) Точка K, полученная в результате пересечения прямой n с линией 1-2, и есть искомая точка пересечения. На эпюре хорошо видна ее горизонтальная проекция K₁, как результат пересечения n₁ с проекцией 1₁-2₁. Находим фронтальную проекцию K₂ точки K, как находящуюся на фронтальной проекции n₂ прямой n.

4) Определяем видимость частей прямой n (как это делается – будет показано ниже).