6.4Уравнения динамических систем

Уравнения динамических систем можно записать в форме следующего полинома относительно оператора и , то уравнение системы можно представить

(6.7.)

где и параметры уравнения, - входное воздействие, - реакция.

При записи и преобразовании дифференциальных уравнений оператор p можно рассматривать как алгебраический сомножитель, а выражение py - как произведение, не обладающее свойством коммутативности, то есть писать, учитывая это преобразуем последние уравнение

(6.8.)

введем

(6.9.)

и представим уравнение (6.8) в более компактной форме

(6.10.)

где - собственный оператор;

- оператор воздействия.

Дифференциальный оператор при выходной величине называют собственным оператором, а дифференциальный оператор при входной величине оператором взаимодействия. Все уравнения, записанные с использованием оператора p, являются символической формой записи уравнения (6.7). Такая запись удобна при определении передаточных функций.

6.5Передаточные функции

Для описания САУ используются две различные передаточные функции - в операторной форме и в изображения Лапласа.

Передаточная функция в операторной форме W(p) называется отношение оператора воздействия к собственному оператору.

;

Периодической функцией в изображениях Лапласа W(s) называется отношение изображений Лапласа выходной величины к входной при нулевых начальных условиях. Здесь s - переменная преобразования Лапласа.

Согласно определению, передаточная функция в операторной форме

6.11.

Используя W(p), получим уравнение

6.12.

Которое является разновидностью символической записи уравнения (3.7).

Чтобы определить передаточную функцию в изображениях Лапласа, произведем преобразование Лапласа при нулевых начальных условиях

; 6.13.

то, что преобразованием по Лапласу называется функция

6.14.

Поэтому с учетом (6.14)

,

где .

Тогда по определению передаточная функция в изображениях Лапласа

; 6.15.

Поэтому уравнение в изображениях Лапласа приобретает вид

6.16.

Операторная функция W(s) получается из передаточной функции операторной форме W(p) формальной подстановкой p= s; .

Такая связь между двумя формами передаточных функций справедливо только для стационарных систем.

6.6Передаточные функции для ошибки по воздействию.

При исследовании точности замкнутых автоматических систем управления разработчиков интересует зависимость ошибки e(t) от задающего воздействия g(t).

Эта зависимость определяется передаточной функцией для ошибки по задающему воздействию, которую обозначаем H_e(p). Если передаточная функция H_e(p) известна, то тогда:

E(p)= H_e(p) G(p) (6.17)

Чтобы найти эту передаточную функцию по заданной структурной схеме автоматической системы, целесообразно выразить ее через передаточную функцию замкнутой системы W_з(p) или через передаточную функцию разомкнутой системы W_p(p):

H_e(p)=

W_з(p)= (6.17)

H_e(p)=1- =

После того как передаточная функция Н_е(р) найдена, ошибка замкнутой автоматической системы управления для задающего воздействия g(t), может быть определена путем обратного преобразования Лапласа, т.е:

e(t)=L^-1[E(p)]=L^-1[H_e(p) G(p)]. 6.18