7Устойчивость линейных стационарных систем.

7.1Понятие устойчивости

Устойчивость является одним из основных требований, предъявляемых к системам автоматического управления (САУ). Неустойчивые САУ неработоспособны, поэтому важно уметь определять и соответствующим выбором структуры и параметров системы обеспечить её устойчивость. В системе управления требуется поддерживать некоторое заданное движение, которое называется невозмущенным движением.

Вследствие различных возмущающих воздействий фактическое движение отличается от невозмущенного движения. В нормально функционирующей системе отклонение фактического движения от невозмущенного движения должно быть небольшим, а это возможно лишь в устойчивых системах.

7.2Устойчивость по входу

Звено называется устойчивым по входу (осуществляющим устойчивое преобразование вход-выход), если при любом ограниченном входном воздействии x(t) и нулевых начальных условиях, выходная реакция y(t) является ограниченной при любом конечном и при и называется неустойчивым на входе в противном случае.

Об устойчивости по входу можно судить по свойствам весовой функции

Теорема 4.1 Для того, чтобы звено, описываемое операторным уравнением , было устойчиво по входу, необходимо и достаточно выполнения условия .

Доказательство: известно, что вход и выход звена осуществляются по формуле.

Пусть x(t) – произвольно правильная функция, т.е. такая, что

Где С₀ – некоторая константа. Тогда

7.3Характеристическое уравнение.

Устойчивость линейной системы зависит от её характеристического уравнения.

Где дифференциальный параметр собственный

P рассматривается, как переменная левая часть характеристического уравнения называется характеристическим полиномом.

Характеристический полином системы совпадает с её собственным оператором или знаменателем передаточной функции.

7.4Необходимое и достаточное условие устойчивости.

Для того чтобы линейная непрерывная система была устойчива необходимо и достаточно, чтобы все корни её характеристического уравнения

Или другая формулировка.

Для того чтобы линейная непрерывная система была устойчивой, необходимо

достаточно, чтобы все корни её характеристического уравнения были левыми, т.е. располагались в левой полуплоскости.

1) ;

2)

7.5Условие строгой реализуемости передаточной функции

Многочлен Q(P) (характеристический многочлен звена) не имеет других корней, кроме корней с отрицательными вещественными частями (условие устойчивости характеристического многочлена).

Пример.

1. Идеальный усилитель Q(P)=1 и корней нет.

2. Интегратор Q(P)=P и один вещественный корень система будет неустойчива.

3. Апериодическое звено Q(P)=TP+1 и один вещественный корень при Т>0 система будет устойчива.

4. Колебательное звено и имеется два комплексно сопряженных корня, причем вещественная часть отрицательна система устойчива.

Эти звенья являются устойчивыми по входу, за исключением интегратора. Переходная функция неограниченно растет, хотя является реакцией на единичное воздействие 1(t).

7.6Алгебраические критерии устойчивости.

Акцентируем теперь внимание то обстоятельство, что проверка условия устойчивости характеристического многочлена не требует вычисления всех его корней, а лишь выяснения того, расположены ли корни ли они только в левой полуплоскости комплексной переменной P.

Нельзя ли установить этот факт, не находя корней?

Ответ на этой вопрос положительный. Алгебраическая проблема проверки устойчивости многочленов была впервые поставлена Максвеллом. Детальное и простое изложение этой проблемы содержится в книге Пестиков М.М. Устойчивые многочлены – М. Наука, 1981 -175 с.

Прежде всего, установим простое необходимое условия.

Теорема. Если многочлен Q(P) с устойчив, то все его коэффициенты положительны a_n>0.