7.6.1Доказательство теоремы

Используем разложение многочлена Q(P) на простые двучлены и трехчлены. Каждому вещественному корню соответствует двучлен , каждой паре комплексно сопряженных корней - трехчлен , если все , , то коэффициенты во всех двучленах и трехчленах положительны, а следовательно, положительны и коэффициенты в многочлене Q(P), Являющимся их произведением.

Пример 1 Многочлен , заведомо неустойчив, поскольку коэффициент при P₂ равен нулю.

Выполнение условия необходимости, не гарантирует устойчивости многочлена при любом n, хотя оно достаточно при n=1, и n=2. При больших (n>2) приходится использовать более сложные процедуры. Кроме того, как известно из алгебры для уравнений 3 и 4 степени имеются общие формулы для нахождения корней, а для уравнений 5степени и выше таких формул нет. Поэтому для систем выше 2 порядка особенно важны условия, которые позволяли бы судить об их устойчивости, не вычисляя корней характеристического уравнения. Такие условия называются критериями устойчивости.

7.7Критерий устойчивости Гурвица. (Гаусса – Гурвица)

Для формулировки критерия Гурвица составим из характеристического уравнения определитель n порядка.

на главной диагонали, которого располагаются коэффициенты в порядке возрастания их индексов, начиная с a₁ кончая a_n. В каждом столбце при движении от элемента, находящегося на главной диагонали, вверх индексы коэффициентов возрастают, вниз убывают, при этом на месте элементов с индексами, превышающими n (при движении вверх) и отрицательными индексами (при движении вниз). Проставляются нули. Запишем частные миноры определителя

и.т.д.

!!!!!!

Назовем эти миноры, включая определитель , определителем Гурвица.

7.7.1Формулировка критерия Гурвица

Для того чтобы система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все определители Гурвица составленные из коэффициентов её характеристического уравнения были больше нуля (при a₀>0).

i=1,n при a₀>0

Из этого критерия следует, что при n=3, необходимое и достаточное условие устойчивости имеет вид.

Пример используем устойчивость системы в разомкнутом и замкнутом состояниях. Характеристическое уравнение разомкнутой системы . Необходимое условие не выполняется, т.к. при  коэффициент a₂=0. Поэтому разомкнутая система неустойчива.

Характеристическое уравнение замкнутой системы.

Проверим

Замкнутая система устойчива.

7.8Критерий Льенара

При выполнении условия для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы были положительными или все определители Гурвица с четными индексами, или все определители Гурвица с нечетными индексами. Следовательно, чтобы система была устойчивой необходимо и достаточно, чтобы

Пример. Характеристическое уравнение имеется.

(Необходимое условие a₀>0, a₁=2>0, a₂=3>0, a₃=4>0, a₄=5>0).

Согласно критерию необходимо и достаточно Проверим выполнение более простого второго условия.

Система не устойчива.

7.9Критерий устойчивости Рауса.

Применение критерия требует составления таблицы Рауса. Элементы её первой строки являются четные коэффициенты характеристического уравнения, начиная с a₀,a₂ a₄, …

Элементы последующих строк вычисляют по приведенным в таблице формулам. Причем при вычислении элементов какой-либо i-ой строки необходимо предварительно вычислить коэффициент ri. Всего в таблице заполняют n+1 строк.

К ритерий формируют следующим образом: система устойчива, если все элементы первого столбца таблицы Рауса имеют одинаковый знак. Обычно характеристическое уравнение приводится к виду a₀>0, тогда все элементы первого столбца должны быть положительными. C_i,1>0, i=2 ,n+1.

При наличии отрицательных элементов в первом столбце таблицы Рауса местами неустойчивы. Если один из элементов первого столбца равен 0, то системы на границе устойчивости, характеристическое уравнение имеет пару чисто мнимых корней.

При равенстве нулю последнего n+1 элемента или _____ последних элементов первого столбца системы также на границе устойчивости.

Составляя таблицу Рауса, расчет можно сразу заменить при появлении первого нулевого или отрицательного элемента на первом столбце, т.к. система на границе устойчивости или неустойчива.

Вспомогательные коэффициенты	№ строки	`№ столбца.
		1	2	3
-	1	C11=a0	C21=a2	C13=a4
-	2	C21=a1	C22=a3	C23=a5
	3	C31= C12+ r3C22	C32= C13+ r3C23	C33= C14+ r3C24
	4	C41= C22+ r4C32	C42= C23+ r4C33	C43= C24+ r4C34
-----	-----	-----	-----	-----
	i	Ci1= Ci-2,2+ riCi-1,2	Ci2= Ci-2,3+ riCi-1,3	Ci3= Ci-2,4+ riCi-1,3
	n+1	Ci,n+1= Cn-1,-2+ rn+1Cn,2	-	-