7.3. Эллипс

Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух данных точек F₁ и F₂, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2а; причем эта величина больше расстояния между фокусами. Расстояние между фокусами обозначают 2с.

Если за ось Ох принять прямую, проходящую через фокусы F₁ и F₂, а за ось Оу - перпендикуляр к оси Ох, проходящий через середину отрезка F₁F₂, то уравнение эллипса примет вид:

- (7.10)

каноническое уравнение эллипса,

b² = a² - c², а - большая полуось эллипса, b - малая полуось эллипса.

О тношение <1 называется

э

b

ксцентриситетом эллипса.

y

По определению: MF₁ + MF₂ = 2a>2c.

FFF 0A a x

Рис.7.5

Если a<b, то фокусы эллипса лежат на оси Оу и

c² = b² - a²,

7.4. Гипербола

Гиперболой называется геометрическое место точек на плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух данных точек F₁ и F₂, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2а; причем эта постоянная меньше расстояния между фокусами. Расстояние между фокусами обозначают 2с.

Если за ось Ох принять прямую, проходящую через фокусы F₁ и F₂, а за ось Оу - перпендикуляр к оси Ох, проходящий через середину отрезка F₁F₂, то уравнение гиперболы примет вид:

(7.11)

каноническое уравнение гиперболы ,

b² = с² - а², а - действительная полуось,

y

M(x,y)

b

a x

b - мнимая полуось.

OF₁ = OF₂ = c, F₁F₂ = 2c.

Отношение >1 называетcя

эксцентриситетом гиперболы.

Рис.7.6

По определению: MF₁ - MF₂ = 2a<2c.

y =  - асимптоты гиперболы.

Уравнение определяет гиперболу, которая пересекает ось Оу, в этом случае .

7.6. Парабола

Параболой называется геометрическое место точек на плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой.

Если за ось Ох выбрать прямую, проходящую через фокус перпендикулярно к директрисе, а за ось Оу - прямую, проходящую через середину перпендикуляра, то уравнение параболы примет вид:

у

y

M

M(x,y)

- F x

² = 2рх - (7.12)

к аноническое уравнение параболы.

По определению: MF = MM₁.

Рис.7.7

Если парабола симметрична относительно оси Оу, то ее уравнение имеет вид: х² = 2ру, у= - - директриса, F(0, ) - фокус.

Пример 1. Даны вершины АВС: А(4,3), B(-3,-3), C(2,7). Найти:

а) уравнение стороны АВ;

б) уравнение высоты CH;

в) уравнение медианы АМ;

г) точку N пересечения медианы АМ и высоты СН;

д) уравнение прямой, проходящей через вершину С параллельно стороне АВ;

е) расстояние от точки С до прямой АВ.

►

а) Составим канонические уравнения (7.3):

S = = (-7,-6) - направляющий вектор,

б) Составим уравнения вида (7.2), векторn = = (-7,-6):

-7(х-2) -6(у-7) = 0.

7х + 6у -56 = 0

в) Находим координаты точки М - середины отрезка ВС:

M: x_M = ; y_M =

Составим уравнения вида (7.3):

S = = (-4,5;-1)

г) Уравнение медианы АМ преобразуем:

 2x - 9y + 19 = 0

Используем уравнение высоты СН :

7x + 6y - 56 = 0

Для того, чтобы найти точку пересечения прямых АМ и СН, нужно решить систему уравнений:

Получим: N

д) Составим уравнения вида (7.3), направляющий векторS = = (-7;-6)

е) Расстояние находим по формуле (7.8). Уравнение прямой АВ преобразуем:

6х - 7у - 3 = 0

и применим формулу (7.8):

◄