Контрольные задания к п.7

Даны вершины треугольника ABC: . Найти:

а) уравнение стороны AB;

б) уравнение высоты CH;

в) уравнение медианы AM;

г) точку N пересечения медианы AM и высоты CH;

д) уравнение прямой, проходящей через вершину C параллельно стороне AB;

е) расстояние от точки C до прямой AB.

7.1. A(-2,4), B(3,1), C(10,7),

7.2. A(2,3), B(6,2), C(5,8),

7.3. A(2,6), B(8,2), C(3,2),

7.4. A(-1,3), B(0,2), C(5,7),

7.5. A(-1,0), B(2,2), C(3,-1),

7.6. A(-1,2), B(2,5), C(2,-7),

7.7. A(2,2), B(8,5), C(2,-8),

7.8. A(1,4), B(6,1), C(10,8),

7.9. A(1,6), B(8,1), C(4,1),

7.10. A(-2,4), B(3,1), C(10,7),

7.11. A(-2,3), B(2,1), C(4,-2),

7.12. A(-2,1), B(2,5), C(1,-7),

7.13. A(1,1), B(8,5), C(1,-8),

7.14. A(-6,1), B(1,3), C(0,-7),

7.15. A(7,1), B(2,5), C(1,3).

Записать уравнение окружности, проходящей через указанные точки и имеющей центр в точке A.

7.16. Вершины гиперболы , A(0,-2).

7.17. Вершины гиперболы , A(0,4).

7.18. Вершины гиперболы , A(0,-8).

7.19. O(0,0), A- вершина параболы .

7.20 Фокусы эллипса , A(0,6).

7.21. Левый фокус гиперболы , A(0,-3).

7.22. Фокусы эллипса , A-его верхняя вершина.

7.23. Вершины гиперболы , A(0,-2).

7.24. Фокусы гиперболы , A(0,-4).

7.25. O(0,0), A- вершина параболы .

7.26. Правый фокус эллипса , A(1,7).

7.27. Левый фокус гиперболы , A(0,6).

7.28. Фокусы эллипса , A-его нижняя вершина.

7.29. Вершины гиперболы , A(0,4).

7.30. Фокусы гиперболы , A(0,5).

8. Пределы

8.1. Предел последовательности

Число а называется пределом последовательности х₁,х₂,...,х_n,..., если для любого положительного числа  существует номер N такой, что х_n-a <  для n>N.

Обозначается:

На языке приближенных равенств это можно понимать как

х_n » a для членов последовательности с номерами n>N.

8.2. Предел функции в точке

Дана функция y=f(x) и точка а, в которой функция может быть и не определена.

Число А называется пределом функции y=f(x) в точке а, если для любого числа  > 0 существует число  > 0, что

f(х)-A <  при 0 <х-a < .

Обозначается:

f(x)A при xa.

С использованием приближенных равенств это можно понимать следующим

образом:

если х » a, то f(х) » A.

Говорят, что функция y=f(x) имеет пределом число А при х®¥, если для люб ого числа М>0 существует >0, что

f(х)-A <  при х >M.

Обозначают:

Говорят, что функция y=f(x) имеет в точке х=а предел, равный ¥, если для любого числа >0 существует число K>0, что

f(х) > K при 0 <х-a < .

Обозначают:

Если существуют конечные пределы и , то

8.3. Первый замечательный предел

Следствия:

Первый замечательный предел и его следствия "раскрывают" неопределенность типа

8.4. Второй замечательный предел

или

где число е - иррациональное, е » 2,71828...

Второй замечательный предел "раскрывает" неопределенность типа (1^¥).

Следствия:

При вычислении пределов возникают неопределенности (0⁰); (⁰); (1^¥); (^), которые будут рассмотрены в теме "Правило Лопиталя" (с. 97 ). С помощью второго замечательного предела может быть "раскрыта" лишь неопределенность (1^¥) по формуле:

(8.1)

Пример 1. Вычислить

►Подставим предельное значение аргумента х число 3 в функцию, получим выражение оно называется неопределенностью типа

Разложим числитель на множители и выполним сокращение:

◄

Пример 2. Вычислить

► Подставим предельное значение аргумента х, равное ¥, в функцию, получим неопределенность вида Преобразуем выражение, стоящее под знаком lim: разделим на х³ числитель и знаменатель дроби.

Учитывая, что при х®¥, получим ответ: -1. ◄

Пример 3. Вычислить

►Подставим 0 вместо х в функцию, получим неопределенность типа Избавимся от иррациональности в числителе, для этого умножим на числитель и знаменатель дроби:

◄

Пример 4. Вычислить

►При подстановке ¥ получаем неопределенность вида (1^). Применим формулу (8.1):

Вычислим предел в показателе:

Окончательно получим:

◄

Для вычисления пределов можно дать некоторые рекомендации:

- если появляется неопределенность типа то нужно и числитель и знаменатель дроби делить на х^к, где к - старшая степень;

- если появляется неопределенность типа то нужно стремиться разложить на множители числитель и знаменатель, выделяя множитель (х-а) или работая с сопряженным выражением;

- неопределенность типа может быть раскрыта с использованием первого замечательного предела и его следствий или с помощью следствий из второго замечательного предела;

- неопределенность (1^) раскрывается по формуле (8.1).