16. Составить уравнение плоскости, проходящей через параллельные прямые ,

17. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(2,1,0) и прямую

18. Найти точку пересечения прямой и плоскости

2х-у+z+1 = 0.

19. Найти расстояние между параллельными прямыми:

;

20. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую параллельно прямой x=y=z.

21. Найти координаты точки Q, симметричной точке Р(1,0,-2) относительно прямой x=3t-1, y=5t+2, z=t+1.

22. Найти проекцию точки А(5,2,-1) на плоскость 2x-y+3z+23 = 0.

23. Найти проекцию точки А(4,3,10) на прямую

24. Пересекаются ли прямые и

Контрольные задания к п.6

Даны четыре точки . Составить уравнения:

а) плоскости ;

б) прямой ;

в) прямой перпендикулярной к плоскости ;

г) прямой , проходящей через точку параллельно к прямой ;

д) плоскости, проходящей через точку перпендикулярно к прямой .

Вычислить:

е) синус угла между прямой и плоскостью ;

ж) косинус угла между координатной плоскостью Oxy и плоскостью .

6.1. (3,1,4) (-1,6,1) (-1,1,6) (0,4,-1).

6.2. (3,2,4) (-2,6,2) (-2,2,6) (0,4,-2).

6.3. (3,2,-1) (-2,1,2) (-2,2,1) (0,-1,-2).

6.4. (5,0,4) (-0,6,2) (-3,0,6) (3,4,-0).

6.5. (5,2,4) (-2,6,2) (-2,2,6) (0,4,-2).

6.6. (5,2,-0) (-2,0,2) (-2,2,0) (0,-7,-2).

6.7. (3,1,4) (-1,3,1) (-1,1,3) (0,4,-1).

6.8. (3,2,4) (-2,3,2) (-2,2,3) (0,4,-2).

6.9. (3,2,-1) (-2,1,2) (-2,2,1) (0,-1,-2).

6.10. (1,0,4) (-0,3,2) (-3,0,3) (3,4,-0).

6.11. (1,2,4) (-2,3,2) (-2,2,3) (0,4,-2).

6.12. (1,2,-0) (-2,0,2) (-2,2,0) (0,-6,-2).

6.13. (0,2,-3) (1,3,2) (1,2,3) (2,-3,1).

6.14. (3,2,4) (1,0,2) (-0,2,0) (0,4,1).

6.15. (3,2,4) (1,0,2) (1,2,0) (2,4,1).

7. Прямая на плоскости и кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола

7.1. Прямая на плоскости.

В декартовой прямоугольной системе координат Оху на плоскости любая прямая может быть задана уравнением первой степени:

Ах+Ву+С = 0, А²+В²  0 (7.1)

и обратно: всякое уравнение вида (7.1) определяет прямую на плоскости.

Уравнение (7.1) называется общим уравнением прямой на плоскости, векторn=(A,B) перпендикулярен к этой прямой и называется нормальным вектором прямой.

Укажем основные способы задания прямой на плоскости и соответствующие уравнения.

1. Прямая проходит через точку М₀(х₀,у₀) перпендикулярно вектору n=(A,B):

А(х-х₀)+В(у-у₀) = 0 (общие уравнения) (7.2)

2.Прямая проходит через точку М₀(х₀,у₀) параллельно вектору s=(m,n):

(канонические уравнения) (7.3)

-< t < (параметрические уравнения) (7.4)

3.Прямая проходит через точку М₀(х₀,у₀) с угловым коэффициентом k:

y-y₀ = k(x-x₀), k = tg  (7.5)

y M •

α x Рис.7.1

4.Уравнение прямой в отрезках.

y

b

(7.6)

a x

Рис.7.2

5. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

y y=kx+b, k = tg  (7.7)

k - угловой коэффициент,

α x b - координата точки пересечения прямой

Рис.7.3 с осью Оу.

6. Расстояние d от точки М₁(х₁,у₁) до прямой Ах+Ву+С = 0 равно:

(7.8)

7.2. Окружность

Окружность радиуса R и с центром в точке С(х₀,у₀) задается уравнением:

(x-x₀)² + (y-y₀)² = R² (7.9)