12.2. Экстремумы

Понятие экстремума функции включает два понятия: минимум и максимум.

Точка называется точкой максимума функции y=f(x), если выполняется неравенство: для всех точек x из некоторой окрестности точки , исключая саму точку .

Точка называется точкой минимума функции y=f(x), если выполняется неравенство: для всех точек x из некоторой окрестности точки исключая саму точку .

y y

max

min

x x

-точка максимума Рис.12.2 -точка минимума

Рисрр

Необходимое условие экстремума: если функция y=f(x) в точке x дифференцируема и имеет экстремум, то .

Точки, в которых обращается в ноль, называются стационарными. Точки, в которых равна 0, или не существует, называются критическими.

Поведение функции в критической точке иллюстрируется следующими рисунками:

=0 (касательная горизонтальна)

y

max

min

x

max min

монотонность

гладкие зкстремумы

Рис.12.3

= (касательная вертикальна)

y

x

Рис.12.4

- не существует (касательную провести нельзя)

max

y=

min

угловые точки экстремума монотонность

Правило 1. Пусть функция y=f(x) удовлетворяет условиям:

1. y=f(x)-непрерывна в (a,b) и дифференцируема в (a,b), исключая, быть может точку ;

2. обращается в 0, или не существует ( -критическая точка функции f )

3. меняет знак при переходе через точку .

Тогда а) если меняет знак с “+” на “-”, то точка минимума функции f;

б) если меняет знак с “-” на “+”, то точка максимума функции f.

Если не меняет знак при переходе через точку , то не является

точкой экстремума функции f.

Правило 2. Пусть функция y=f(x) дважды дифференцируема в промежутке (a,b) и =0, .

Тогда если >0, то точка минимума функции f;

<0, то точка максимума функции f;

=0, то об экстремуме ничего сказать нельзя.

12.3. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба кривой

К

a b x

выпуклая кривая

ривая заданная функцией y=f(x), на зывается выпуклой в интервале (a,b), если все точки кривой лежат ниже любой её касательной в этом интервале.

К

вогнутая

кривая

a b x

Рис.12.4

ривая заданная функцией y=f(x), на зывается вогнутой в интервале (a,b), если все точки кривой лежат выше любой её касательной в этом интервале.

Выпуклость и вогнутость графика функции связывают со знаком второй производной этой функции:

если , то кривая выпукла в этом интервале;

если , то кривая вогнута в этом интервале.

Точка на кривой которая отделяет выпуклую часть кривой от вогнутой, называется точкой перегиба. В этой точке обращается в 0, или не существует, а при переходе через неё меняет свой знак.