Упражнения к п.10

Найти производную.

Найти вторую производную:

y=(1+4x²)arctg 2x

y=x³-5x²+7x-2 в точке х=2

y=(x²+1)ln(1+x²)

y=e^-3x(cos 2x + sin 2x)

результат.

Контрольные задания к п 10

Найти y^/:

9.1. 9.2.

9.3. 9.4.

9.5. 9.6.

9.7. 9.8.

9.9. 9.10.

9.11. 9.12.

9.13. 9.14.

9.15.

11. Правило Лопиталя.

Теорема.

Пусть функции y=f(x) и g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки a, . Если

или

и - существует,

то = .

Схематично:

= (11.1)

Правило Лопиталя верно и для случая . Если частное вновь даёт неопределённость и функции удовлетворяют условиям теоремы, то можно перейти к отношению вторых производных и т.д. Однако, предел отношения самих функций может существовать, в то время как отношение производных не стремится ни к какому пределу. Правило Лопиталя можно применять для вычисления широкого класса функций. Полезны бывают следующие преобразования:

(11.2)

(11.3)

Пример 1.

Пример 2.

Пример 3.

.

►Вычислим предел в показателе по правилу Лопиталя:

.

Возвращаясь к исходному примеру, получим

. ◄

Упражнения к п.11.

Вычислить пределы:

1. 7.

2. 8.

3. 9.

4. 10.

5. 11.

6. 12.

Контрольные задания к п.11

Вычислить пределы:

11.1. a) б)

11.2. a) б)

11.3. a) б)

11.4. a) б)

11.5. a) б)

11.6. a) б)

11.7. a) б)

11.8. a) б)

11.9. a) б)

11.10. a) б)

11.11. a) б)

11.12. a) б)

11.13. a) б)

11.14. a) б)

11.15. a) б)

12. Приложения производной к исследованию функций и построению графиков

12.1. Монотонные функции

Функция y=f(x) называется возрастающей в промежутке (a,b), если для любых таких, что выполнено .

Функция y=f(x) называется убывающей в промежутке (a,b), если для любых таких, что выполнено .

y f- возрастающая y f-убывающая

a b x a b x

Рис.12.1

Функция, возрастающая в интервале или убывающая в интервале, называется монотонной в этом интервале.

Признаки возрастания функции.

Если дифференцируемая функция y=f(x) в интервале (a,b) возрастает, то её производная в этом интервале неотрицательна, т.е.

Если непрерывная на отрезке [a,b] и дифференцируемая внутри него функция y=f(x) имеет положительную производную, то f- возрастает на этом отрезке:

Признаки убывания функция y=f(x) на отрезке [a,b] формулируются аналогично и связываются с отрицательностью производной .