Упражнения к п.5

1. Векторы a иb образуют угол . Зная, что a =3, b =4,

найти: а) a b; б) (a +b)(a -b); в) длину вектораc = 3a + 2b.

2. Даны вершины четырехугольника А(1,2,3), B(7,3,2), C(-3,0,6), Д(9,2,4). Доказать, что его диагонали перпендикулярны.

3. Даны вершины треугольника А(-1,-2,4), B(-4,-2,0), C(3,-2,1). Найти внутренний угол треугольника при вершине А и внешний угол при вершине В.

4. Найти острый угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах a = (2,1,0) иb = (0,-1,1).

5. Даны векторы a = (3,-5,8) и b = (-1,1,-4). Найти a +b и a -b. Дать геометрический смысл этих величин.

6. Зная векторы, совпадающие с двумя сторонами треугольника = (1,2,2) и = (2,-2,1), найти внутренние углы треугольника.

7. Даны векторы a = (5,2,0) и b = (7,-3,0). Найти вектор c,

у­довлетворяю­щий условиямa c = 38 и b c = 30.

8. Вычислить косинус угла между медианами, проведенными из вершин острых углов равнобедренного прямоугольного треугольника.

9. Найти векторb, коллинеарный векторуa = (2,1,-1) и у­довлет­воряющий условию a b = 12.

10. Даны единичные векторы a,b,c, у­довлетворяю­щие условию

a +b +c = 0. Вычислить: ab +bc +ca.

11. Проверить, что точки А(3,-1,2), B(1,2,3), C(-3,4,6), Д(3,-5,3) являются вершинами трапеции АВСД. Определить длину средней линии трапеции.

12. При каком значении  векторы a = 2i - 3j + 2k и

  b   =i + 2j - k  а) взаимно перпендикулярны; б) коллинеарны.

13. Векторыa иb взаимно перпендикулярны, a =3, b =4. Вычислить: a b ; (a +b)(a -b); (3a -b)(a - 2b).

14. Даны векторыa = (3,-1,-2) иb = (1,2,-1). Найти координаты векторов: а)a b; б) (2a +b) b.

15. Даны вершины треугольника А(1,2,0), B(3,0,3), C(5,2,6). Найти: а) внутренний угол при вершине А; б) площадь АВС; в) высоту h_A.

16. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах

a = (0,-1,1) иb = (1,1,1). Будут ли его диагонали взаимно перпендикулярны?

17. Доказать, что векторы a = 2i -j + 2k, b  = i + 2j - 3k, c = 3i - 4j + 7k компланарны.

18. Вычислить объем треугольной пирамиды, вершины которой лежат в точках А(1,1,2), B(2,3,-1), C(2,-2,4), Д(-1,1,3).

19. Лежат ли точки А(1,2,-1), B(4,1,5), C(-1,2,1), Д(2,1,3) в одной плоскости?

20. Компланарны ли следующие векторы? Если нет, то выяснить, правой или левой является данная тройка векторов: а) a = (2,3,1), b = (1,-1,3),

c = (-1,9,-11); б) a = (3,-2,1), b = (2,1,2), c = (3,-1,-2); в) a = (3,4,0),

b = (0,-4,1),c = (0,2,5).

21. Вычислить объем треугольной призмы, построенной на векторах

a = (7,6,1),b = (4,0,3),c = (3,6,4).

22. Убедившись, что векторыa = 7i + 6j - 6k иb = 6i + 2j + 9k можно рассматривать как ребра куба, найти его третье ребро.

23. Объем треугольной пирамиды АВСД равен 5. Три ее вершины известны: А(2,1,-1), B(3,0,1), C(2,-1,3). Найти координаты четвертой вершины Д, если известно, что она лежит на оси Оу.

24. Даны три вектора a = 2i -j + 3k, b  = i - 3j + 2k,

c = 3i + 2j - 4k. Найти векторx, у­довлет­воряющий условиям:xa = -5 xb = -11, xc = 20.

25. Даны вершины треугольной пирамиды: О(-5,-4,8), А(2,3,1), B(4,1,-2), C(6,3,7). Найти длину высоты h_О.

26. Показать, что векторы a = i +j + mk, b  = i +j + (m+1)k, c =i -j + mk ни при каком значении m не могут быть компланарны.

27. Даны векторы a =i -j +k, b =i +j +k, c = 2i + 3j + 4k. Найти: а) скалярное произведение векторов a,b

б) векторное произведение векторов a, c

в) смешанное произведение векторов a,b,c

Что можно сказать о взаимном расположении векторов a,b,c ?