Упражнения к п.9

Исследовать функции на непрерывность, построить график:

12. Найти значение А, при котором функция непрерывна на всей числовой прямой:

Контрольные задания к п.9

Исследовать функцию на непрерывность, построить график:

9.1 (a) 9.1 (б)

9.2 (a) 9.2 (б)

9.3 (a) 9.3 (б)

9.4 (a) 9.4 (б)

9.5 (a) 9.5 (б)

9.6 (a) 9.6 (б)

9.7 (a) 9.7 (б)

9.8 (a) 9.8 (б)

9.9 (a) 9.9 (б)

9.10 (a) 9.10 (б)

9.11 (a) 9.11 (б)

9.12 (a) 9.12 (б)

9.13 (a) 9.13 (б)

9.14 (a) 9.14 (б)

9.15 (a) 9.15 (б)

10. Производная

10.1. Определение производной. Геометрический смысл

Приращением  y функции y=f(x) в точке х₀ называется разность

 y = f ( x₀ +  x ) - f ( x₀ ),

 х – приращение аргумента х.

Рассмотрим предел:

Если он существует, то его называют производной функции в точке х₀.

Обозначение:

Из рисунка следует, что если производная в точке х₀ существует, то она равна угловому коэффициенту касательной к графику этой функции:

Функция, имеющая конечную производную в точке х₀, называется дифференцируемой в точке х₀.

10.2. Правила дифференцирования

Пусть C – const и u=u (x), v=v (x) – дифференцируемые функции. Тогда

1⁰. (С) ^/ = 0 2⁰. (u +v) ^/ = u ^/ + v ^/ 3⁰. (u v) ^/ = u ^/ v + uv ^/

4⁰. (Cv ) ^/ = C v ^/ ,C- const. 5⁰.

10.3. Производная сложной функции

Если функция y = f (x) и u =  (x) – дифференцируемые функции, такие что сложная функция y = f ( u(x) ) – имеет смысл, то

10.4. Таблица производных

Пусть u = u (x) – дифференцируемая функция.

10.5. Производные высших порядков

Производной второго порядка или второй производной функции y=f(x) называется производная от её первой производной, т.е. (y^/ ) ^/.

Обозначается вторая производная одним из символов: y ^//, f ^// (x),

Производная n-го порядка y⁽ⁿ⁾ для функции y=f(x) определяется по индукции:

y⁽ⁿ⁾ = ( y^{( n-1)})^/.

Обозначение: y ⁽ⁿ⁾, f ⁽ⁿ⁾ (x),

Пример 1. Найти производную:

►Введем промежуточную переменную u=u(x) так, чтобы функция стала

табличной. Обозначим: u=x³sinx, тогда y=e^u. По формуле 2^/ из таблицы производных получим:

◄

Пример 2. Записать уравнение касательной и нормали к кривой в точке х₀=1.

►Уравнение касательной к кривой y=f(x) имеет вид:

y-y₀=f^/(x₀)(x-x₀).

Уравнение нормали к кривой y=f(x) в точке х₀ имеет вид

Поэтому, вычислив производную в точке х₀=1 получим:

Касательная : y-1=-1(x-1)  y=2-x

Нормаль: y-1=1(x-1)  y=x

y y=x

1

1 x

y=2-x

Рис.10.2

◄