12.4. Асимптоты графика функции
y Рис.12.5
a
x=a x вертикальная асимптота
Ф
ункция
y=f(x) имеет в точке x=a бесконечный предел:
;
э
y
y=f(x)
y=kx+b-
наклонная aсимптота
x Рис.12.6 
то
значит, что прямая x=a является вертикальной
асимптотой графика функции y=f(x).
Если существуют конечные
пределы
,
то кривая y=f(x) обладает наклонной асимптотой
.
Прямая l называется асимптотой кривой y=f(x) если расстояние от точки M кривой до прямой l стремится к нулю при условии, что точка M уходит на бесконечность.
Пример 1.
Исследовать функцию
с помошью первой производной, найти
асимптоты, построить график.
►
Область определения; асимптоты.
-вертикальная
асимптота
-вертикальная
асимптота
Найдём k и b для наклонной асимптоты
y=kx+b=x, y=x – наклонная асимптота.
2. Экстремумы.
Составим схему для определения знаков производной:
x
0
max:
min:
График:
y
y=x
2,5
-
-1 1
x
-2,5
Рис.12.7
◄
Пример 2.
Найти экстремумы функции
.
Показать, что кривая всюду выпукла.
►
Область определения.
Асимптот нет.
Экстремумы.
Построим схему для определения знаков .
x
max:
min:
4. 
для
кривая всюду выпукла.
5. График:
y
5
max
-
x
-1 min 1
1
Рис.12.8 ◄
Пример 3. Найти экстремумы, точки перегиба, построить график функции
►
x
y
0 2
max:
min:
График:
y
y=x
т.п.
2
x
-4
Рис.12.9 ◄
Пример 4.
Найти экстремумы, точки перегиба функции
.
Построить график.
►
2.
y
min
4
x
min:
3.
.
График:
y
x
min
т.п.
Рис.12.10
( по оси Oy масштаб не выдержан ) ◄
Упражнения к п.12
Найти экстремумы, точки перегиба, построить графики:
6.
Найти асимптоты, экстремумы, построить графики:
7.
10.
8.
11.
9.
12.
Выполнить полное исследование, построить график функции.
13.
18.
14.
19.
15.
20.
16.
21.
17.
22.
Контрольные задания к п.12
Провести полное исследование указанных функций и построить их графики.
12.1. (a)
12.1.(б)
12.2. (a)
12.2.(б)
12.3. (a)
12.3.(б)
12.4. (a)
12.4.(б)
12.5. (a)
12.5.(б)
12.6. (a)
12.6.(б)
12.7. (a)
12.7.(б)
12.8. (a)
12.8.(б)
12.9. (a)
12.9.(б)
12.10. (a)
12.10.(б)
12.11. (a)
12.11.(б)
12.12. (a)
12.12.(б)
12.13. (a)
12.13.(б)
12.14. (a)
12.14.
(б)
12.15. (a)
12.15.
(б)
