Распределение температуры по высоте ребра Бесконечный тонкий стержень

Имеется ребро, имеющее несущую плоскую поверхность F, которое имеет круглое сечение с диаметром d. В этом стержне, площадь основания которого равна . Корень стержня контактирует с нагретой несущей поверхностью. Теплообмен вначале происходит теплопроводностью в направлении длины x стержня, а затем путем теплоотдачи от его поверхности к окружающему воздуху. Сток теплоты с поверхности стержня обеспечивается притоком теплоты к поверхности. Поэтому температура у основания цилиндрического тела убывает по длине.

Для удобства выкладок переменную температуру стрежня (t) будем отсчитывать относительно температуры окружающей среды ( ). Обозначим избыточную температуру как

Если диаметр стержня невелик, а коэффициент теплопроводности имеет большое значение, то в нем не будет градиента в направлении радиуса, а только по его длине, т.е. , и будет зависеть только от коэффициента теплоотдачи с его поверхности к окружающей жидкости.

Если обозначить через количество теплоты, которая входит в левую грань мысленно выбранного элемента стрежня, а через - тепловой поток, который выходит через его правую грань, то можно составить следующее уравнение баланса

где dQ - количество теплоты, отдаваемое элементом dx в окружающую среду.

Количество теплоты, вносимое через левую грань элемента равно

Тепловой поток, выходящий через правую грань элемента, можно записать в виде

Найдем разность

С другой стороны, в соответствии с законом Ньютона-Рихмана

где Π - периметр сечения стержня, α - коэффициент теплоотдачи от поверхности стержня к окружающей среде. В последней формуле - видимая поверхность длиной dx.

Приравняв правые части, получим

Изменение температуры стержня в направлении его длины будет описываться линейным дифференциальным уравнением второго порядка

Вводим обозначение , м^-1. Тогда последнее уравнение запишется как

Общий интеграл этого уравнения имеет вид

Значения постоянных интегрирования определяются из граничных условий. При и будем иметь и , где .

Тогда расчетная температура стержня подчиняется соотношению

(')

Последнее соотношение может быть представлено в виде

где . Из последнего соотношения следует, что материалы для ребер следует выбирать с самым большим коэффициентом теплопроводности, что уменьшает m и приводит к сохранению высоких избыточных температур по длине стержня.

Поскольку для круглого стержня c диаметром d отношение , то

Количество теплоты, отданное поверхностью в окружающую среду, равняется теплоте, поступающей в его основание.

Тогда

Из формулы (') найдем

Окончательно

Стержень конечной длины

Сведения из математики ; ; ; ; ; ; . ; ; ; .

Для стержня конечной длины ( , где h – длина стрежня) дифференциальное уравнение безусловно сохраняет силу при условии, что

Расчет показывает, что в этом случае тепловой поток равен

где - коэффициент теплоотдачи от поверхности торца стержня к окружающей его жидкости.

При низком коэффициенте теплоотдачи с торца и высокой теплопроводности стержня, то есть при , уравнение температурной кривой в стержне конечных размеров имеет вид