Дифференциальное уравнение теплопроводности

Уравнение (1.15) определяет общий перенос тепла теплопроводностью и конвекцией. Если среда неподвижна, то выполняется условие:

.

В этом случае уравнение (1.15) упрощается:

. (1.16)

Уравнение (1.16) описывает перенос тепла теплопроводностью при наличии внутреннего источника (стока) и называется дифференциальным уравнением теплопроводности. Уравнение (1.16) определяет распределение температуры в пространстве (x, y, z) и времени ().

Для одномерного температурного поля, когда температура зависит только от одной координаты (например, от координаты х), дифференциальное уравнение теплопроводности принимает следующий вид:

. (1.17)

Уравнение (1.17) описывает теплопроводность неограниченной пластины для одномерного теплового потока при наличии внутренних источников (стоков) тепла.

Для тел простейшей формы (неограниченная пластина, неограниченный цилиндр и шар) можно записать унифицированное дифференциальное уравнение теплопроводности (одномерная задача):

, (1.18)

где m – коэффициент формы тела.

(пояснение)

Для неограниченной пластины коэффициент формы тела равен нулю (m=0), для неограниченного цилиндра и шара он соответственно равен m=1 и m=2.

Краевые условия (условия однозначности)

Для того, чтобы дифференциальные уравнения теплообмена, теплопроводности, движения и сплошности могли быть использованы для решения конкретных задач, они должны быть дополнены краевыми условиями (условиями однозначности). Они включают в себя:

геометрические условия, задающие форму тела и размер тела;

физические условия, определяющие физические свойства вещества, их зависимость от температуры, а также изменение в пространстве и во времени мощности внутренних источников теплоты;

начальные условия, устанавливающие распределение температуры в начальный момент времени. Задание этих условий требуется только для решения нестационарных задач;

граничные условия, характеризующие процесс теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой.

Граничные условия первого рода заключаются в задании температуры на поверхности тела в определенный момент времени, т.е.:

. (1.21)

Граничные условия второго рода заключаются в задании плотности теплового потока в каждой точке на поверхности тела в определенный момент времени, т.е.:

. (1.23)

Граничные условия третьего рода характеризуются законом конвективного теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой при постоянном тепловом потоке (стационарное тепловое поле). В этом случае количество теплоты, переданное за единицу времени в окружающую среду (жидкость), прямо пропорционально разнице температур между поверхностью тела и окружающей средой (жидкостью):

, (1.24)

где  - коэффициент пропорциональности определяемый опытным путем, который называется коэффициентом теплоотдачи (Вт/м²·К).

Такой стационарный режим теплообмена между телом и средой называется конвективным теплообменом описываемым законом Ньютона-Рихмана (1.24). (пояснение)

Граничные условия четвертого рода соответствуют теплообмену поверхности тела с окружающей средой (конвективный теплообмен с жидкостью) когда температура соприкасающихся поверхностей одинакова:

t₁=t₂ . (1.25)

Помимо равенства температур, имеет место также равенство потоков тепла:

. (1.26)