Теплопроводность однослойной цилиндрической стенки

Задача относится к разряду задач о теплопотерях через ограждающую конструкцию или о поверхности теплообмена, состоящей из отдельных цилиндрических трубок.

Задано:

- температуры на обеих поверхностях цилиндрической стенки T₁ и T₂;

- значение коэффициента теплопроводности λ_ст=const;

- случай стационарный ;

- стенка представлена цилиндром, , с одномерным потоком теплоты.

В соответствии с законом Фурье (применительно к цилиндрической стенке) запишем

Вт.

Разделив переменные и выполнив интегрирование, найдем:

Используя граничные условия

r=r₁, T=T₁ и r=r₂, T=T₂,

будем иметь:

Или

Вт.

Последнее уравнение является итоговым и служит в качестве расчетного для оценки теплопроводности однослойной цилиндрической стенки.

Найдем распределение температуры внутри цилиндрической стенки. Для этого воспользуемся уравнением теплопроводности

,

или

В нашем случае режим стационарный , внутренние источники теплоты отсутствуют ( ). Тогда последнее уравнение примет вид:

.

В цилиндрических координатах оператор имеет вид

.

При заданных условиях температурное поле является одномерным, т.е. изменяется только в радиальном направлении. Тогда уравнение теплопроводности запишется в виде

.

Для решения данного уравнения второго порядка необходимо понизить его порядок путем введения функции вида

.

Тогда

.

Разделим переменные и, проведя интегрирование, получим:

ln U + ln x = ln C₁,

или ln(Ux)=lnС₁, откуда имеем:

Ux=C₁ .

Возвращаясь к исходной функции и проводя второе интегрирование, имеем

,

Постоянные интегрирования находятся из граничных условий

при x=r₁ t=t₁

при x=r₂ t=t₂

Тогда получим уравнение с двумя переменными

t_СТ1=C₁ ln r₁+C₂,

t_СТ2=C₁ ln r₂+C₂ .

Решением этой системы являются уравнения

.

Окончательно получим:

Видно, что распределение температуры описывается логарифмической кривой в отличие от случая с плоской стенкой.

Полагая, что

,

получим выражение

.

Теплота, проходящая через стенку трубы, может быть отнесена к 1 пог. м длины трубы либо к единице внутренней (внешней) поверхности трубы. при этом:

, Вт/м.

, Вт/м².

, Вт/м².

Здесь l - длина трубы, м.

Так как внутренняя и внешняя поверхность различны, то . Можно получить следующее соотношение:

, Вт/м.

Теплопроводность многослойной цилиндрической стенки

При стационарном режиме справедливо записать:

Здесь Т₁ и Т₄ неизменны.

Перепишем последние соотношения в виде:

Путем сложения левых и правых частей, найдем полный температурный напор

.

Или для потока теплоты

.

Для стенки, состоящей из n-слоев, плотность теплового потока равна

, Вт/м.

Подставляя в последнее соотношение величину теплового потока, найдем формулы для расчета температур на границе слоев

Для всех слоев при стационарном тепловом режиме в форме закона Ома:

где линейное термическое сопротивление трехслойной цилиндрической стенки