Теплопередача через цилиндрическую стенку
В этом случае необходимо вычислять температуры на наружной и внешней поверхностях стенки, температуры в стыках слоев (если стенка многослойная) и величину потока теплоты. Заданными являются температуры жидкостей и коэффициентов теплоотдачи.
Характер распределения температуры в слоях различен для плоской и цилиндрической стенок.
Рассмотрим
теплопроводность в отдельном слое
цилиндрической стенки в случае
стационарного режима (
).
Температурное поле в цилиндрической
стенке описывается уравнением
.
Граничные условия на поверхностях стенки:
при r=r1, t=t01
и при r=r2, t=t02
Находим распределение температуры в стенке. Последнее уравнение перепишется в виде
.
Выполнив интегрирование, найдем
.
Из формулы видно, что распределение температуры в отдельном слое происходит по логарифмическому закону.
Плотность потока теплоты q в слое цилиндрической стенки непостоянна по толщине стенки и убывает к внешней поверхности цилиндрического слоя. Это объясняется тем, что общее количество передаваемой теплоты Q, проходящее через участок цилиндрической трубы длиной l равное qF, где F=2πrl, должно быть постоянным (Q=const). Поскольку F возрастает в направлении возрастания радиуса (F1=2πr1l; F2=2πr2l), то очевидно, что при F1<F2 , будем иметь:
и
.
Отсюда видно,
что
,
т.е. поток q
убывает при Q=const.
Введем обозначение
- количество передаваемой теплоты
приходящееся на 1 пог. метр. Запишем
систему уравнений для стационарного
случая:
Перепишем эту систему относительно температурных напоров:
Переписываем
.
Или для многослойной стенки
где n - число слоев цилиндрической стенки.
Отсюда величина плотности теплового потока
где kl - коэффициент теплопередачи,
Термическое сопротивление многослойной цилиндрической стенки
.
В практических расчетах теплопередачи часто встречаются цилиндрические стенки, толщина которых мала по сравнению с ее диаметром (тонкостенная труба). Для такого случая расчеты теплопередачи можно проводить по упрощенным формулам.
Для получения
таких формул воспользуемся правилом
разложения функции в ряды. В частности,
величину
можно разложить в знакопеременный ряд
вида
Если отношение
диаметров
стремится к единице, то такой ряд
становится быстросходящимся и в этом
случае с достаточной степенью точности
расчетов можно ограничиться лишь одним
первым членом ряда, то есть:
,
где δ – толщина цилиндрической стенки.
После подстановки
последнего соотношения в уравнение
,
имеем
.
Умножив числитель и знаменатель полученного выражения на d2, и, принимая во внимание, что отношение , имеем:
.
После подстановки
полученного выражения для
в формулу
получим
где
коэффициент теплопередачи через плоскую стенку.
Поскольку, согласно определению,
то
где F – площадь внешней поверхности цилиндрической стенки.
В общем случае, для цилиндрической стенки из n слоев, тепловой поток будет равен:
